2020年中考数学复习《锐角三角函数》难题训练

《锐角三角函数》难题训练（一）一、选择题1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合，点N不与点C重合)，且𝑀𝑁=12𝐵𝐶，𝑀𝐷⊥𝐵𝐶交AB于点D，𝑁𝐸⊥𝐵𝐶交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设𝐵𝑀=𝑥，△𝐵𝑀𝐷的面积减去△𝐶𝑁𝐸的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.2.一个正方体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示：∠𝐵=90°，正方形DEFH的边长为1m，𝐵𝐶=4𝑚，𝐴𝐶=8𝑚.当正方形DEFH运动到某位置，使得𝐷𝐶2=𝐴𝐸2+𝐵𝐶2，此时AE的长为()𝑚．A.4916B.4C.√17D.2√33.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶是“好玩三角形”，且∠𝐶=90度，𝐵𝐶≥𝐴𝐶，则tan𝐵=()A.√22B.√32C.√23D.√334.缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D处水平向前走14米到点A处，再沿着坡度为0.75的斜坡A走一段距离到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B点观察到观景塔顶端的仰角为再往前沿水平方向走27米到C处，观察到观景塔顶端的仰角是，则观景塔的高度DE为()(参考数据：，，A.21米B.24米C.36米D.45米5.如图，在反比例函数𝑦=32𝑥的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足𝐴𝐶=𝐵𝐶，当点A运动时，点C始终在函数𝑦=𝑘𝑥的图象上运动，若tan∠𝐶𝐴𝐵=2，则k的值为()A.B.C.D.−126.如图，在等腰直角三角形𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=6，D为AC上一点，若tan∠𝐷𝐵𝐴=15，则AD的长为()A.2B.√2C.1D.2√27.如图，直线𝑦=12𝑥+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点𝐷(3,0)向以P为圆心，12𝐴𝐵为半径的⊙𝑃作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为()A.54√3B.√5C.2√5D.52√3二、填空题8.如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐷=6，以点C为圆心，以CB的长为半径画弧交AD于E，点E恰好是AD中点，则图中阴影部分的面积为________.(结果保留𝜋)9.如图𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，E为⊙𝑂上一点，连结CE，过C作𝐶𝐷⊥𝐶𝐸，交BE于点D，已知𝑡𝑎𝑛𝐴=，𝐴𝐵=2，𝐷𝐸=5，则tan∠𝐴𝐶𝐸=____．10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点𝑀.若经过点M的反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑥0)的图象交AB于点N，𝑆矩形𝑂𝐴𝐵𝐶=32，tan∠𝐷𝑂𝐸=12，则BN的长为______．11.如图，15个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为60°，A、B、C都在格点上，点D在过A、B、C三点的圆弧上，若E也在格点上，且∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，则cos∠𝐴𝐸𝐶=______．12.如图，在正方形ABCD中，𝐴𝐷=2√3，把边BC绕点B逆时针旋转30∘得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则△𝑃𝐶𝐸的面积为．13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△𝐴𝐵𝐶的周长，且𝐷𝐸=√3，则AC的长是___________14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点𝑀.若经过点M的反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑥0)的图象交AB于点N，𝑆矩形𝑂𝐴𝐵𝐶=32，tan∠𝐷𝑂𝐸=12，则BN的长为___________．15.如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量𝐴𝐵=25𝑐𝑚，𝐵𝐶=54𝑐𝑚，𝐶𝐷=30𝑐𝑚，且𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑡𝑎𝑛𝐶=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为___________．三、解答题16.如图，已知AB是⊙𝑂的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙𝑂于点D，过点B作𝐵𝑁⊥𝑀𝐷于点C，连接AD并延长，交BN于点N．(1)求证：𝐴𝐵=𝐵𝑁；(2)若⊙𝑂半径的长为3，𝑐𝑜𝑠𝐵=25，求MA的长．17.已知，如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=60°，𝐵𝐶=2，∠𝑀𝑂𝑁=30°．(1)如图1，∠𝑀𝑂𝑁的边𝑀𝑂⊥𝐴𝐵，边ON过点C，求AO的长；(2)如图2，将图1中的∠𝑀𝑂𝑁向右平移，∠𝑀𝑂𝑁的两边分别与△𝐴𝐵𝐶的边AC、BC相交于点E、F，连接EF，若△𝑂𝐸𝐹是直角三角形，求AO的长；(3)在(2)的条件下，∠𝑀𝑂𝑁与△𝐴𝐵𝐶重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．18.交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得𝑃𝑂⊥𝑙，𝑃𝑂=100米，∠𝑃𝐵𝑂=45°.这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠𝐴𝑃𝑂=60°.此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由(参考数据：√2=1.41，√3=1.73)19.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐺的两边EF，EG分别过点B，C，∠𝐹=30°．(1)求证：𝐵𝐸=𝐶𝐸；(2)如图2，将△𝐸𝐹𝐺绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N．①求证：△𝐵𝐸𝑀≌△𝐶𝐸𝑁；②若𝐴𝐵=𝑘𝐶𝑁，求当△𝐵𝑀𝑁面积最大时，k的值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3)，求sin∠𝐸𝐵𝐺的值．20.如图，𝐴(5,0)，𝐵(3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠𝐶𝐵𝑂=45°，𝐶𝐷//𝐴𝐵，∠𝐶𝐷𝐴=90°.点P从点𝑄(−4,0)出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒．(1)求点C的坐标；(2)当∠𝐵𝐶𝑃=15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙𝑃随点P的运动而变化，当⊙𝑃与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．21.【探索发现】如图①，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边分别是a、b、c，过A作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D。求证：𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶。【类比引申】同理可证：𝑐sin𝐶=𝑎sin𝐴,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，所以𝑎sin𝐴′=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．如图②，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=45°，∠𝐶=75°，𝐵𝐶=60，则∠𝐴=_____；𝐴𝐶=_____。【理解应用】如图③，甲船以每小时30√2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于𝐴1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的𝐵1处，且乙船从𝐵1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达𝐴2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的𝐵2处，此时两船相距10√2海里．求乙船每小时航行多少海里？图③答案和解析1.A解：过点A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，交BC于点H，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐵𝐻=𝐻𝐶=12𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶，设𝑎=12𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶=𝛼，则𝑀𝑁=𝑎，𝐶𝑁=𝐵𝐶−𝑀𝑁−𝑥=2𝑎−𝑎−𝑥=𝑎−𝑥，𝐷𝑀=𝐵𝑀𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑥⋅𝑡𝑎𝑛𝛼，𝐴𝐻=𝐵𝐻𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑎⋅𝑡𝑎𝑛𝛼，𝐸𝑁=𝐶𝑁⋅𝑡𝑎𝑛𝐶=(𝑎−𝑥)𝑡𝑎𝑛𝛼，𝑆=𝑆△𝐵𝑀𝐷−𝑆△𝐶𝑁𝐸=(2𝑥−𝑎)=𝑎⋅𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑥−均为常数，故上述函数为一次函数，2.A解：如图，连接CD，设𝐴𝐸=𝑥，可得𝐸𝐶=8−𝑥．∵正方形DEFH的边长为1米，即𝐷𝐸=1米，∴𝐷𝐶2=𝐷𝐸2+𝐸𝐶2=1+(8−𝑥)2，𝐴𝐸2+𝐵𝐶2=𝑥2+16，∵𝐷𝐶2=𝐴𝐸2+𝐵𝐶2，∴1+(8−𝑥)2=𝑥2+16，解得：𝑥=4916，所以，当𝐴𝐸=4916米时，有𝐷𝐶2=𝐴𝐸2+𝐵𝐶2．3.B解：如图，∵𝐵𝐶≥𝐴𝐶，∴只有BC边上的中线，满足条件，𝐴𝐷=𝐵𝐶，设𝐶𝐷=𝐵𝐷=𝑎．则𝐴𝐷=2𝑎，𝐶𝐷=𝑎，𝐴𝐷=2𝐶𝐷，∵∠𝐶=90°，∴∠𝐷𝐴𝐶=30°，∴𝐴𝐶=√3𝑎，∴𝑡𝑎𝑛𝐵=𝐴𝐶𝐵𝐶=√32．4.A解：作𝐵𝐺⊥𝐷𝐸于G，𝐴𝐹⊥𝐵𝐺于F，设𝐴𝐹=3𝑥，∵𝐴𝐵坡的坡度为0.75，∴𝐵𝐹=4𝑥，∴𝐵𝐺=4𝑥+14，𝐶𝐺=4𝑥+41，∵∠𝐴𝐵𝐺=45°，∴𝐺𝐸=𝐵𝐺=4𝑥+14，在𝑅𝑡△𝐸𝐺𝐶中，𝑡𝑎𝑛𝐶=𝐸𝐺𝐶𝐺，即4𝑥+144𝑥+41=0.4，解得，𝑥=1，∴𝐷𝐸=3𝑥+4𝑥+14=21(米)，5.B解：如图，连接OC，过点A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于点E，过点C作𝐶𝐹⊥𝑦轴于点F，∵由直线AB与反比例函数𝑦=32𝑥的对称性可知A、B点关于O点对称，∴𝐴𝑂=𝐵𝑂．又∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，∴𝐶𝑂⊥𝐴𝐵．∵∠𝐴𝑂𝐸+∠𝐴𝑂𝐹=90°，∠𝐴𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐹=90°，∴∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹，又∵∠𝐴𝐸𝑂=90°，∠𝐶𝐹𝑂=90°，∴△𝐴𝑂𝐸∽△𝐶𝑂𝐹，∴𝐴𝐸𝐶𝐹=𝑂𝐸𝑂𝐹=𝐴𝑂𝐶𝑂，∵tan∠𝐶𝐴𝐵=𝑂𝐶𝑂𝐴=2，∴𝐶𝐹=2𝐴𝐸，𝑂𝐹=2𝑂𝐸．又∵𝐴𝐸⋅𝑂𝐸=32，𝐶𝐹⋅𝑂𝐹=|𝑘|，∴𝑘=±6．∵点C在第二象限，∴𝑘=−6，6.A解：作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E点，如图，∵tan∠𝐷𝐵𝐴=15=𝐷𝐸𝐵𝐸，∴𝐵𝐸=5𝐷𝐸，∵△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∴∠𝐴=45°，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸．∴𝐵𝐸=5𝐴𝐸，又∵𝐴𝐶=6，∴𝐴𝐵=6．∴𝐴𝐸+𝐵𝐸=5𝐴𝐸+𝐴𝐸=6，∴𝐴𝐸=√2，∴在等腰直角△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理，得𝐴𝐷=√2𝐴𝐸=2．7.A解：如图，连接DP，∵直线𝑦=12𝑥+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当𝑥=0时，𝑦=1，当𝑦=0时，𝑥=−2，∴𝐴(−2,0)，𝐵(0,1)，∴𝐴𝐵=√22+12=√5，∵过点𝐷(3,0)向以P为圆心，12𝐴𝐵为半径的⊙𝑃作两条切线，切点分别为E、F，∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，𝑃𝐸⊥𝐷𝐸，∵𝑃𝐸=𝑃𝐹，𝑃𝐷=𝑃𝐷，∴△�