2020年中考数学复习 二次函数难题训练

2020中考复习二次函数难题训练（一）一、选择题1.函数𝑦=𝑥2−2𝑥−3中，当−2≤𝑥≤3时，函数值y的取值范围是()A.−4≤𝑦≤5B.0≤𝑦≤5C.−4≤𝑦≤0D.−2≤𝑦≤32.如图所示，已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线𝑥=1.直线𝑦=−𝑥+𝑐与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2𝑎+𝑏+𝑐0；②𝑎−𝑏+𝑐0；③𝑥(𝑎𝑥+𝑏)≤𝑎+𝑏；④𝑎−1.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知二次函数𝑦=−𝑥2+𝑥+6及一次函数𝑦=−𝑥+𝑚，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线𝑦=−𝑥+𝑚与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A.−254𝑚3B.−254𝑚2C.−2𝑚3D.−6𝑚−24.以x为自变量的二次函数𝑦=𝑥2−2(𝑏−2)𝑥+𝑏2−1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是()A.𝑏≥54B.𝑏≥1或𝑏≤−1C.𝑏≥2D.1≤𝑏≤25.如图，抛物线𝑦1=12(𝑥+1)2+1与𝑦2=𝑎(𝑥−4)2−3交于点𝐴(1,3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①𝑎=23；②𝐴𝐶=𝐴𝐸；③△𝐴𝐵𝐷是等腰直角三角形；④当𝑥1时，𝑦1𝑦2，其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知关于x的二次函数𝑦=(𝑥−ℎ)2+3，当1≤𝑥≤3时，函数有最小值2h，则h的值为()A.32B.32或2C.32或6D.2、32或67.“如果二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、𝑛(𝑚𝑛)是关于x的方程1−(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)=0的两根，且0𝑎𝑏，则a、b、m、n的大小关系是()A.𝑚𝑎𝑏𝑛B.𝑎𝑚𝑛𝑏C.𝑎𝑚𝑏𝑛D.𝑚𝑎𝑛𝑏二、填空题8.如图，直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交于𝐴(−1,𝑝)，𝐵(4,𝑞)两点，则关于x的不等式𝑚𝑥+𝑛𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的解集是________．9.当−1≤𝑥≤1时，二次函数𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2+1有最大值4，则实数m的值为______．10.如图，已知⊙𝑃的半径为2，圆心P在抛物线𝑦=12𝑥2−1上运动，当⊙𝑃与x轴相切时，圆心P的坐标为______．11.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐过点(−1,0)，且对称轴为直线𝑥=1，有下列结论：①𝑎𝑏𝑐0；②10𝑎+3𝑏+𝑐0；③抛物线经过点(4,𝑦1)与点(−3,𝑦2)，则𝑦1𝑦2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−𝑐𝑎,0)；⑤𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑎≥0，其中所有正确的结论是______．12.如图是抛物线𝑦1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是𝐴(1,3)，与x轴的一个交点是𝐵(4,0)，直线𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①𝑎𝑏𝑐0；②方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④当1𝑥4时，有𝑦2𝑦1；⑤𝑥(𝑎𝑥+𝑏)≤𝑎+𝑏，其中正确的结论是______.(只填写序号)13.如图，P是抛物线𝑦=−𝑥2+𝑥+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．三、解答题14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)，𝐶(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△𝑃𝑂𝐶是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△𝑃𝐵𝐶面积最大，求出此时P点坐标和△𝑃𝐵𝐶的最大面积．15.如图，二次函数𝑦=−𝑥2+3𝑥+𝑚的图象与x轴的一个交点为𝐵(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点(1)求m的值及C点坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由(3)𝑃为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为𝑡(0𝑡4)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．16.如图，在矩形OABC中，𝑂𝐴=5，𝐴𝐵=4，点D为边AB上一点，将△𝐵𝐶𝐷沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．(1)求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；(2)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，𝐷𝑃=𝐷𝑄；(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．17.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的顶点坐标为(4,−23)，且与y轴交于点𝐶(0,2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；(2)若(1)中抛物线的对称轴上有点P，使△𝐴𝐵𝑃的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积的2倍，求出点P的坐标；(3)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使𝐴𝑄+𝐶𝑄的值最小？若存在，求𝐴𝑄+𝐶𝑄的最小值；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛经过点𝐴(3,0)、𝐵(0,−3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为𝑡.(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△𝐴𝐵𝑀的面积．(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，已知抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与y轴相交于点𝐴(0,3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线𝑥=1(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当𝑡0时，△𝐵𝑂𝑄能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．20.为了迎接“清明”小长假的购物高峰，某运动品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知每件甲服装进价比每件乙服装进价多20元，售价在进价的基础上加价50%，通过初步预算，若以4800元购进的甲服装比以4200元购进乙服装的件数少10件．(1)求甲、乙两种服装的销售单价；(2)现老板计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，若购进这100件服装的费用不超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(3)在(2)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠𝑎(0𝑎20)元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过点𝐴(−2,0)，点𝐵(4,0)，点𝐷(2,4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．(1)求抛物线函数表达式；(2)𝐸是抛物线上的点，求满足∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝑂的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．22.已知抛物线𝑦=−𝑥2+3𝑥+4交y轴于点A，交x轴于点B，𝐶(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线𝑙.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点𝑄.连接AP．(1)写出A，B，C三点的坐标；(2)若点P位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△𝐴𝑂𝐶相似，求出点P的坐标；②若将△𝐴𝑃𝑄沿AP对折，点Q的对应点为点𝑀.是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③设AP的中点是R，其坐标是(𝑚,𝑛)，请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．答案和解析1.A解：∵𝑦=𝑥2−2𝑥−3，∴抛物线对称轴为𝑥=−−22×1=1，开口向上，∴𝑥=1时，函数y有最小值为4×1×(−3)−(−2)24×1=−4，∵1在−2≤𝑥≤3这个范围内；∴在−2≤𝑥≤3这个范围内，当𝑥=1时，函数有最小值−4，由于开口向上，离对称轴越远，函数值越大，−2到1的距离比3到1的距离远，∴在−2≤𝑥≤3这个范围内，𝑥=−2时，函数y有最大值5，即−4≤𝑦≤5．2.A解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴𝑐0，∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−𝑏2𝑎=1，∴𝑏=−2𝑎，∴2𝑎+𝑏+𝑐=2𝑎−2𝑎+𝑐=𝑐0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧，而抛物线的对称轴为直线𝑥=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−1,0)右侧，∴当𝑥=−1时，𝑦0，∴𝑎−𝑏+𝑐0，所以②正确；∵𝑥=1时，二次函数有最大值，∴𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≤𝑎+𝑏+𝑐，∴𝑎𝑥2+𝑏𝑥≤𝑎+𝑏，所以③正确；∵直线𝑦=−𝑥+𝑐与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴𝑥=3时，一次函数值比二次函数值大，即9𝑎+3𝑏+𝑐−3+𝑐，而𝑏=−2𝑎，∴9𝑎−6𝑎−3，解得𝑎−1，所以④正确．3.D解：如图，当𝑦=0时，−𝑥2+𝑥+6=0，解得𝑥1=−2，𝑥2=3，则𝐴(−2,0)，𝐵(3,0)，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为𝑦=(𝑥+2)(𝑥−3)，即𝑦=𝑥2−𝑥−6(−2≤𝑥≤3)，当直线⋅𝑦=−𝑥+𝑚经过点𝐴(−2,0)时，2+𝑚=0，解得𝑚=−2；当直线𝑦=−𝑥+𝑚与抛物线𝑦=𝑥2−𝑥−6(−2≤𝑥≤3)有唯一公共点时，方程𝑥2−𝑥−6=−𝑥+𝑚有相等的实数解，解得𝑚=−6，所以当直线𝑦=−𝑥+𝑚与新图象有4个交点时，m的取值范围为−6𝑚−2．4.A解：∵二次函数𝑦=𝑥2−2(𝑏−2)𝑥+𝑏2−1的图象不经过第三象限，∵二次项系数𝑎=1，∴抛物线开口方向向上，当抛物线的顶点在x轴上方时，则𝑏2−1≥0，△=[2(𝑏−2)]2−4(𝑏2−1)≤0，解得𝑏≥54；当抛物线的顶点在x轴的下方时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，∴𝑥1+𝑥2=2(𝑏−2)