2020年高考数学一轮复习 专题10.10 定点问题练习（含解析）

第十讲定点问题一．直线的斜率和截距都未知时，设直线的方程为ykxm，利用题意找出k和m的关系式，即只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点。二．斜率未知时，证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，只需要令含有参数部分的x等于零即可消去参数.三．若动直线的参数位置在截距上，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点；注意：在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。考向一找出k与m得关系【例1】已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】（1）2214xy（2）（2，-1）【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.又由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314bab，解得2241ab.故C的方程为2214xy.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2如果l与x轴垂直，设l:x=t由题意设知224402)()22ttttAB且，可得、的坐标分别为（t,、t,-【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下221242421,222ttkkttt则得，不符合题意设直线l的方程(1)ykxmm2214ykxmxy联立222(41)8440kxkmxm整理得由题设可知22=16(41)0km.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而121212121212121211112(1)()==yykxmkxmkxxmxxkkxxxxxx由题设121kk，故1212(21)(1)()0kxxmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkk.解得21mk.当且仅当1m时，0，欲使l：21ykxk，即1(2)ykx，所以l过定点（2，-1）【举一反三】1.过24yx上一点(1,2)P，作两条射线交抛物线于,AB两点，且0PAPB，则证明AB恒过一定点。【解析】设直线AB的方程为x=ky+b，设1122(,)(,)AxyBxy、联立224404xktbykybyx整理得由韦达定理得12124,4yykyyb1212220(1)(1)(2)(2)065480[2(1)][2(5)]0PAPBxxyybbkkkbkb化简得即,解得1225bkbk或当12bk时，AB的方程为1(2)xky，此时恒过（1，2）点当25bk时，AB的方程为5(2)xky，此时恒过（5，-2）点2.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．【答案】（1）28yx；（2）(1,0)【解析】（1）如图1，设动圆得圆心O1（x,y),由题意得11OAOM当O1不在y轴上时，过22111=4OOHMNMNHHMNOMx作交于，则是的中点，所以又22222221(4)(4)48(0)OAxyxyxyxx化简又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程28yx所以动圆圆心的轨迹C的方程为28yx（2）如图2，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(0k)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0由根与系数的关系得，x1＋x2＝282bkk①，x1x2＝22bk②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以121211yyxx，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0即(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，即2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，即k＝－b，此时Δ＞0所以直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0)图1图2考向二利用直线系中参得系数为0【例2】对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．【答案】（1）22143xy（2）直线MN必经过一定点4(,1)3（2）设，，，222210xyabab00,xy00221xxyyab31,2Q2222C:1(0)xyababQ12CP3xyPmnCMNMN00,Pxy11,Mxy22,Nxy则切线，切线．∵都经过点，∴，．即直线的方程为．又，∴直线MN必经过一定点．【举一反三】1．已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足AMMN.问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）-3（2）直线MN过定点P(2,5).【解析】（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G(a,-1)，由x2=4y，得214yx，所以'12yx.所以直线GA的斜率为112x.因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，所以22112211,44yxyx所以直线GA的方程为211111()42yxxxx因为点G在直线GA上，所以2211111111()24042xxaxxax即,同理，222240xax.11:143xxyym22:143xxyyn,mnP1010143xxyy2020143xxyyMN00143xxyy003xy4,13所以x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，所以x1x2=-4.又2212121212111344yyxxxxyy（2）存在，由（1）知x1x2=-x12=-x22=-4.不妨设x1x2，则x1=-2,x2=2，即A(-2,1)、B(2,1).设M(xM,yM),N(xN,yN)211124-x+x)4()4MMMMMxyyyxy11则作差得（x）(x所以直线AM的斜率为122444MMNAMANxxxxkk同理可得因为22144MNAMANxxAMANkk整理得2()200MNMNxxxx①224-x+x)4()4NNMNMNMNMMxyyyxy则作差得（x）(x从而可得直线MN的斜率为4NMNMxxk，所以直线MN的方程为2()4()44MNMMMNMNxxxyxxyxxxxx化简将①代入上式得4()2()20MNMNyxxxxx，整理得4(5)()(2)MNyxxx.所以直线MN过定点(2,5)，即P点的坐标为(2,5).考向三圆过定点[例3]已知椭圆C：22221(0,0)xyabab，离心率12e，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，1AF，直线m：x=-4.（1）求椭圆C方程；（2）直线l过点F与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与直线交于M、N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）以MN为直径的圆能过两定点(-1,0)、（-7，0）【解析】（1）2212214331caxyabac解得.（2）当直线l斜率存在时，设直线l：y=k(x+1)，P(x1,y1)、Q（x2，y2)直线PA：11(2)2yyxx，令x=-4，得121222(4,)(4,)22yyMMxx，同理以MN为直径的圆：121222(4)(4)()()022yyxxyyxx222121212121212124()14)2[2]402()42()4xxxxxxxykykxxxxxxxx整理可得（①222222(1)4384120143ykxkxkxkxy得（）221212228412,4343kkxxxxkk②将②代入①整理得：226870.0,17xyxyyxxk令得或当直线l斜率不存在时，33(1,))-4-34,322PMN、Q(-1,-、（，）、（）以MN为直径的圆：22x+4)9y（也过点(-1,0)、(-7,0)两点，综上：以MN为直径的圆能过两定点(-1,0)、(-7,0).【举一反三】1.若动圆的圆心在抛物线212xy上，且与直线30y相切，则此圆恒过定点______________．【答案】(0，3)【解析】直线30y是抛物线212xy的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线3y的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．2.已知椭圆E的方程为2221xya，点A为长轴的右端点．B、C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB与直线AC的斜率kAB、kAC满足：12ACABkk．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线:lykxt与圆2223xy相切，且与椭圆E相交于M、N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点．【答案】（1）2212xy（2）见证明【解析】（1）设B（x0，y0）则C（-x0，-y0）由220021xya得，2222000221xaxyaa22222200000200112222ACAByyaxaxkkyaxaxaa得即椭圆E的标准方程为：2212xy（2）设M(x1,y1)N(x2,y2)由22222121+2)4220xykxktxtykxt整理得（2121222422,1212kttxxxxkk22222222212121212222(22)42()()()121212ktkttkyykxtkxtkxxktxxttkkk又l与圆C相切，所以22262=3311ttkk即2222222121222222232(1)2(1)2(1)0121212ttktkkkOMONxxyykkk=90OMONMON即以线段MN为直径的圆经过原点3.已知离心率为2的双曲线的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3.（1）求双曲线C的方程；（2）设A1、A2分别为的左右顶点，P为C异于一点A1、A2，直线A1P与A2P分别交y轴于M、N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点.【答案】（1）2213yx