2020年高考数学一轮复习 专题10.2 圆的方程及位置关系练习（含解析）

第二讲圆的方程与位置关系一．求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：.①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C的位置关系(1)|AC|r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3)|AC|r⇔点A在圆外⇔.二．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.222()()xaybr222()()xaybr220xyDxEyF220xyDxEyF2240DEF(2D)2EFED421220422FED(2D)2E0422FED00()Axy，22200()()xaybr－＋－22200()()xaybr－＋－22200()()xaybr－＋－1C2C12dCCRrRrdRrdRrRrdRrdRr0dRr0d【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一圆的方程【例1】（1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为。（2）求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．【答案】（1）x2+（y–3）2=1（2）x－1122＋y＋322＝1252.【解析】（1）x2+（y–3）2=1由题意，可设圆心坐标为（0，a）．∵圆的半径为1，∴圆的标准方程为x2+（y–a）2=1，又圆过点（1，3），∴12+（3–a）2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+（y–3）2=1．（2）方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C－D2，－E2，∴kCB＝6＋E28＋D2.∵圆C与直线l相切，∴kCB·kl＝－1，即6＋E28＋D2·－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．又kAB＝6＋48＋2＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.②由①②联立，解得x＝112，y＝－32.即圆心坐标为112，－32.∴所求圆的半径r＝112－82＋－32－62＝1252，【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始∴所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.【举一反三】1.已知圆𝐶的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆𝐶的方程为()A．𝐶2+𝐶2−4𝐶+6𝐶+8=0B．𝐶2+𝐶2−4𝐶+6𝐶−8=0C．𝐶2+𝐶2−4𝐶−6𝐶=0D．𝐶2+𝐶2−4𝐶+6𝐶=0【答案】D【解析】因为圆𝐶的圆心坐标为(2,-3),所以设圆𝐶的方程为(𝐶−2)2+(𝐶+3)2=𝐶2，因为圆过点(-1,-1)，所以(−1−2)2+(−1+3)2=𝐶2∴𝐶2=13，即(𝐶−2)2+(𝐶+3)2=13，展开得𝐶2+𝐶2−4𝐶+6𝐶=0，选D.2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.【答案】【解析】设，则，故圆C的方程为3.已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．【答案】【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：，则由题意得：.②－①得：…………………………………………④⑤⑥(0,5)M20xy45522(2)9.xy(,0),(0)Caa2|2|452,25355aar22(2)9.xyC(1,1)A(2,2)B:10lxyC22(3)(2)25xy222()()xaybr222222(1)(1)(2)(2)10abrabrab①②③330ab【套路总结】求圆方程的方法及思路1.直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．2.待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．③－④得：，代入④得：.将代入①得：.所以所求圆的标准方程为：.法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为：.因为圆心在上，所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心.解方程组得，所以圆心为.圆的半径，所以所求圆的标准方程为：.4.的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．【答案】考向二点与圆的位置关系【例2】．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为。【答案】圆内。【解析】将𝐶(3,2)代入圆方程得(3－2)2＋(2－3)2＝24，因此点在圆内。【举一反三】1．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______2b3a3,2ab225r22(3)(2)25xyAB330xy:10lxyAB:10lxy33010xyxy32xy(3,2)C22(31)(21)5rAC22(3)(2)25xyABC(5,1),(7,3),(2,8),ABC22860xyxy【套路总结】点与圆的位置关系解题思路1.点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外，2.几何法：是求出点到圆心的距离然后与半径比较．3.代数法：直接代入圆的标准方程(𝑥−𝑎)2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2，点为(𝑥0,𝑦0)，则点在圆内⇔(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2；点在圆上⇔(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2=𝑟2；点在圆外⇔(𝑥0−𝑎)2+(𝑦0−𝑏)2𝑟2．【答案】[−52,0)∪(0,+∞)【解析】由题意(1−𝐶)2+(2+𝐶)2≥2𝐶2，解得𝐶≥−52，又𝐶≠0，∴𝐶≥−52且𝐶≠0．考向三圆与圆的位置关系【例3】．两圆𝐶1:𝐶2+𝐶2=1和𝐶2:𝐶2+𝐶2−4𝐶−5=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离【答案】B【解析】由圆𝐶1:𝐶2+𝐶2=5的圆心为(0,0)，半径为1，圆𝐶2:𝐶2+𝐶2−4𝐶−5=0圆心为(2,0)半径为3，所以圆心距为2，此时2=3−1，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.【举一反三】1．圆𝐶1:𝐶2+𝐶2+2𝐶−3=0和圆𝐶2:𝐶2+𝐶2−4𝐶+3=0的位置关系为().A．相离B．相交C．外切D．内含【答案】B【解析】分别求出两个圆的标准方程为C1：（x+1）2+y2=4，圆心C1：（-1，0），半径r=2．C2：x2+（y-2）2=1，圆心C2：（0，2），半径R=1，则|𝐶1𝐶2|=√(−1)2+22＝√1+4＝√5，∵r-R=2-1=1，R+r=1+2=3，∴1＜|C1C2|＜3，∴两个圆相交．故选：B．2.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心为N(1,1)，半径r2＝1，∴MN＝1－02＋1－22＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2MNr1＋r2，∴两圆相交．考向四两圆的相交弦【套路总结】判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．【例4】圆x2＋y2－2x－6y＋6＝0与圆x2＋y2－6x－10y＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．【答案】x+y-6=0【解析】两圆相减得x＋y－6＝0．所以两圆公共弦所在直线方程为x＋y－6＝0.故答案为：x＋y－6＝0【举一反三】1.已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点．(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；(2)求AB的长．【答案】（1）4x＋3y－10＝0.（2）10【解析】(1)直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.(2)由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d＝|4×5＋3×5－10|5＝5，圆C的半径r＝52，所以AB＝2r2－d2＝10.2.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．【答案】27【解析】由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝【套路总结】一.圆与圆的关系解析思路1.计算两个圆心之间的距离，即圆心距d2.圆心距d与两个半径之和12r+r、两个半径之差的绝对值12rr二．圆与圆相交时（一）公共弦直线的方程：两个交点所在的直线即公共弦，其方程等于两个圆方程相减（二）圆与圆相交时，求交点坐标时1.联立两个圆的方程，相减得到公共弦的直线2.公共弦直线与其中一个圆的方程再进行联立，解出交点的坐标（三）求公共弦的弦长方法一：求出交点，利用两点间的距离方法二：求出公共弦直线方程，利用其中一个圆的圆心，求其圆心到公共弦直线的距离d，再利用弦长公式|1－0＋1|12＋12＝2，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2r21－d2＝232－22＝27.3.已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为________．【答案】3x－2y＝0【解析】圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝15；圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝10.∵C1C2＝3－02＋0－22＝13∈(15－10，15＋10)，∴圆C1与圆C2相交．由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，①圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，②①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.考向五与圆有关的最值问题【例5】已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上（1）求x＋y的最大值和最小值．（2）求yx的最大值和最小值．（3）求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】（1）设