2020年高考数学一轮复习 专题3.9 真题再现练习（含解析）

第九讲真题再现1．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x|【答案】A【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A．3．（2019•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【解析】当x∈[0，2π]时，ωx+∈[，2πω+]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴5π≤2πω+，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，ωx+∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．4．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．5．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+【答案】D【解析】tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．故选：D．6．（2018•新课标Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】B【解析】∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：B．7．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【答案】C【解析】函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，故选：C．8．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【答案】C【解析】f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）＝﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．9．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，解得cos2α＝，∴|cosα|＝，∴|sinα|＝＝，|tanα|＝||＝|a﹣b|＝＝＝．故选：B．10．（2018•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC＝＝，∴sinC＝＝cosC，∵0＜C＜π，∴C＝．故选：C．11．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，＝2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，＝4cos2x+sin2x，＝3cos2x+1，＝，＝，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．12．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【答案】A【解析】f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）＝，由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．13．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2【答案】A【解析】在△ABC中，cos＝，cosC＝2×＝﹣，BC＝1，AC＝5，则AB＝＝＝＝4．故选：A．14．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【答案】A【解析】∵sinα﹣cosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝，∴sin2α＝﹣，故选：A．15．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解析】函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为：＝π．故选：C．16．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．17．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，∴cosAsinC+sinAsinC＝0，∵sinC≠0，∴cosA＝﹣sinA，∴tanA＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sinC＝，∵a＝2，c＝，∴sinC＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．18．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin（x+）+cos（﹣x+）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin（x+）．故选：A．19．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减【答案】D【解析】A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，B．当x＝时，cos（x+）＝cos（+）＝cos＝cos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确，C当x＝时，f（+π）＝cos（+π+）＝cos＝0，则f（x+π）的一个零点为x＝，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D．20．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ＝，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵tanθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣1＝﹣1＝．故选：D．21．（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】C【解析】设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cosA＝cos（+θ）＝coscosθ﹣sinsinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．22．（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】∵tanα＝，∴cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故选：A．23．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】∵a＝，c＝2，cosA＝，∴由余弦定理可得：cosA＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，∴解得：b＝3或﹣（舍去）．故选：D．24．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为．【答案】6．【解析】由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos，∴c2＝12，∴S△ABC＝，25．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB＝0，则B＝．【答案】【解析】∵bsinA+acosB＝0，∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：sinB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝．26．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为﹣4．【答案】-4【解析】∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向上，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣427．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【答案】【解析】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．28．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．【答案】【解析】sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）＝．故答案为：．2