2020年高考数学一轮复习 专题3.2 同角三角函数练习（含解析）

第二讲同角三角函数一．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝sinαcosα的变形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝sinαtanα.考向一同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα＝.（2）已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．【答案】（1）－125(2)见解析【解析】（1）因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.（2）由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα①又sin2α＋cos2α＝1②【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，∴cosα＝－35，sinα＝43cosα＝－45.【举一反三】1．已知3(,)22，且tan2，那么sinA．33B．36C．36D．33【答案】B【解析】因为3(,)22，sintan2cos0，故3(,)2即sin2cos，又22sincos1，解得：sin36故选：B2．已知sin𝜃=𝜃−11+𝜃,cos𝜃=−𝜃1+𝜃，若𝜃是第二象限角，则tan𝜃的值为A．−12B．−2C．−34D．−43【答案】C【套路总结】（1）利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；（2）利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．【解析】由sin2𝜃+cos2𝜃=1，得：(𝜃−11+𝜃)2+(𝜃1+𝜃)2=1，化简，得：𝜃2−4𝜃=0，因为𝜃是第二象限角，所以，𝜃=4，tan𝜃=sin𝜃cos𝜃=𝜃−11+𝜃×(−1+𝜃𝜃)＝1−𝜃𝜃=1𝜃−1＝−34，故选C.3．已知向量𝜃⃑⃑⃑⃑=(√2，−√2)，𝜃⃑⃑⃑⃑=(cos𝜃，sin𝜃)，且𝜃⃑⃑⃑⃑∥𝜃⃑⃑⃑⃑，则tan𝜃的值为__________．【答案】-1【解析】因为𝜃⃑⃑⃑⃑∥𝜃⃑⃑⃑⃑，所以√2sin𝜃−(−√2)cos𝜃=0，解得tan𝜃=−1.4.已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．【答案】见解析【解析】∵cosα＝－8170，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.考向二弦的齐次问题【例2】（1）已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为．（2）若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝【答案】（1）3（2）6425【解析】（1）原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3..（2）tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.【举一反三】1．已知向量𝜃⃑⃑⃑⃑=(sin𝜃,−2)，𝜃⃑⃑⃑⃑=(1,cos𝜃)，且𝜃⃑⃑⃑⃑⊥𝜃⃑⃑⃑⃑，则sin2𝜃+cos2𝜃的值为_____．【答案】1【解析】∵𝜃⃑⃑⃑⃑=(sin𝜃,−2)，𝜃⃑⃑⃑⃑=(1,cos𝜃)，且𝜃⃑⃑⃑⃑⊥𝜃⃑⃑⃑⃑，∴sin𝜃−2cos𝜃=0，∴tan𝜃=2，∴sin2𝜃+cos2𝜃=2sin𝜃cos𝜃+cos2𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=2tan𝜃+1tan2𝜃+1=4+14+1=1．故答案为：1．2．已知直线2𝜃−4𝜃+5=0的倾斜角为𝜃，则sin2𝜃=（）A．25B．45C．310D．12【答案】B【解析】直线2𝜃−4𝜃+5=0的倾斜角为𝜃,可得斜率k=tan𝜃=12,则sin2𝜃=2sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=2tan𝜃tan2𝜃+1=【套路总结】弦的齐次问题(1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin2α＋cos2α的运用．114+1=45，故选：B3..已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【答案】（1）－53.（2）135【解析】由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.考向三sinα±cosα，sinαcosα【例3】已知sinα＋cosα＝－13，0＜α＜π.(1)求sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【答案】（1）－49.（2）173.【解析】(1)由sinα＋cosα＝－13，得(sinα＋cosα)2＝19，sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝19，sinαcosα＝－49.(2)因为0＜α＜π，sinαcosα＜0，所以sinα＞0，cosα＜0⇒sinα－cosα＞0.sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝173.【举一反三】1.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为．【答案】－23【解析】∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.2．已知sinx＋cosx＝3－12，x∈(0，π)，则tanx＝.【答案】－3【解析】由题意可知sinx＋cosx＝3－12，x∈(0，π)，则(sinx＋cosx)2＝4－234，因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sinxcosx＝－32，即2sinxcosxsin2x＋cos2x＝2tanxtan2x＋1＝－32，得tanx＝－33或tanx＝－3.当tanx＝－33时，sinx＋cosx0，不合题意，舍去，所以tanx＝－3.【套路总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号．3．已知0απ2，若cosα－sinα＝－55，则2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值为．【答案】5－95【解析】因为cosα－sinα＝－55，①所以1－2sinαcosα＝15，即2sinαcosα＝45.所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋45＝95.又0απ2，所以sinα＋cosα0.所以sinα＋cosα＝355.②由①②得sinα＝255，cosα＝55，tanα＝2，所以2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝5－95.4．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为．【答案】1－5【解析】由题意知方程的两根为－m±m2－4m4，∴sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5.考向四三角函数代数式的化简【例4】化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα，其中sinα·tanα0.【答案】（1）-1（2）－2cosα【解析】(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.(2)由于sinα·tanα0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、三象限角，∴cosα0，∴1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα＝1－sinα21－sin2α＋1＋sinα21－sin2α＝|1－sinα||cosα|＋|1＋sinα||cosα|＝1－sinα＋1＋sinα－cosα＝－2cosα.【举一反三】1.化简：1－2sinα2cosα2＋1＋2sinα2cosα20απ2.【答案】2cosα2【解析】原式＝cosα2－sinα22＋cosα2＋sinα22＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.∴cosα2－sinα20，sinα2＋cosα20，∴原式＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2＝2cosα2.2.若0θπ2，化简sinθ1－cosθ·tanθ－sinθtanθ＋sinθ.【套路总结】化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数【答案】1【解析】原式＝sinθ1－cosθ·tanθ－tanθ·cosθtanθ＋tanθ·cosθ＝sinθ1－cosθ·1－cosθ1＋cosθ＝sinθ1－cosθ·1－cosθ21－cos2θ又0θπ2，∴sinθ0，故原式＝sinθ1－cosθ·1－cosθsin2θ＝sinθsinθ＝1.3.化简：1cos2α1＋tan2α－1＋sinα1－sinα(α为第二象限角)．【答案】tanα【解析】∵α是第二象限角，∴cosα0.则原式＝1cos2α·1＋sin2αcos2α－1＋sinα21－sin2α＝1cos2α·cos2αcos2α＋sin2α－1＋sinα|cosα|＝－cosαcos2α＋1＋sinαcosα＝－1＋1＋sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.4.(1)212sin130cos130sin1301sin130；(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋2costan.【答案】（1）1（2）1sinαcosα【解析】(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130