2020年高考数学一轮复习 专题2.18 导数真题再现练习（含解析）

专题2.18导数真题再现1．若函数f（x）＝ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝2x+1，则a＝（）A．﹣1B．0C．D．1【答案】D【解析】函数f（x）＝ax2+1的导数为f′（x）＝2ax，可得点（1，f（1））处的切线斜率为2a，由点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝2x+1，可得2a＝2，解得a＝1，故选：D．2．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．3．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2xB．y＝﹣xC．y＝2xD．y＝x【答案】D【解析】函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．4．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【答案】A【解析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．5．若函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【答案】C【解析】函数f（x）＝x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．6．已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．【答案】e【解析】函数f（x）＝exlnx，则f′（x）＝exlnx+•ex；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．7．若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【答案】-3【解析】∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．8．曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【答案】y=2x-2【解析】∵y＝2lnx，∴y′＝，当x＝1时，y′＝2∴曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．9．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】【解析】由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）＝0可解得cosx＝或cosx＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣10．曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝﹣3．【答案】-3【解析】曲线y＝（ax+1）ex，可得y′＝aex+（ax+1）ex，曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．11．曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x．【答案】y=2x【解析】∵y＝2ln（x+1），∴y′＝，当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．12．若曲线的切线l与直线平行，则l的方程为．【答案】3x﹣4y+5＝0【解析】设切点为（m，n），可得m+＝n，的导数为y′＝1﹣，由切线l与直线平行，可得1﹣＝，解得m＝3，即有切点为（3，），可得切线的方程为y﹣＝（x﹣3），即为3x﹣4y+5＝0．故答案为：3x﹣4y+5＝0．13．已知a∈R，设函数f（x）＝ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．【答案】1【解析】函数f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a﹣，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案为：1．14．曲线y＝x2+在点（1，2）处的切线方程为．【答案】x﹣y+1＝0【解析】曲线y＝x2+，可得y′＝2x﹣，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．【答案】2x+y+1＝0．【解析】f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，f′（x）＝﹣3，可得f（1）＝ln1﹣3＝﹣3，f′（1）＝1﹣3＝﹣2，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣2（x﹣1），即为2x+y+1＝0．故答案为：2x+y+1＝0．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．【答案】y=2x【解析】已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝ex﹣1+x，则f′（x）＝ex﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．17．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．【答案】1﹣ln2【解析】设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k＝＝，得x1＝x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．18．已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【答案】1【解析】函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．三．解答题（共22小题）19．设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】（1）1（2）（，+∞）．【解析】（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．由题意可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e＝0，且f（1）＝3e≠0，解得a＝1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝，则f′（x）＝（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．20．已知函数f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a＝0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x＝0是f（x）的极大值点，求a．【答案】见解析【解析】（1）证明：当a＝0时，f（x）＝（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）＝0，∴f（x）＝（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）＝0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）＝（1+2ax）ln（1+x）+﹣2＝，令h（x）＝ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）＝4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x＝0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）＝8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）＝0，解得a＝﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，