2020年高考数学一轮复习 专题2.16 定积分与微积分练习（含解析）

第十六讲定积分与微积分一．定积分的概念（1）定积分的概念一般地，如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点011iinaxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,,)iin，作和式11()()nniiiibafxfn（其中x为小区间长度），当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作()dbafxx，即1()dlim()nbianibafxxfn.这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()dfxx叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]ab上函数()fx连续且恒有()0fx，那么定积分()dbafxx表示由直线,()xaxbab，0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分()dbafxx的几何意义.（3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：；()dbakfxx②1212[()()]d()d()dbbbaaafxfxxfxxfxx；③()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx（其中acb）.二．微积分基本定理【套路秘籍】---千里之行始于足下一般地，如果()fx是区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()d()()bafxxFbFa.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了方便，我们常常把()()FbFa记成()|baFx，即()d()|()()bbaafxxFxFbFa.考向一利用定积分的几何意义求曲线的面积【例1】（1）定积分∫√的值等于。（2）已知()是偶函数，且∫()，则∫()______.(3)11xdx=。(4)20cosxdx=。【答案】（1）（2）12(3)0;(4)0【解析】（1）由√得，根据定积分的意义可知，扇形的面积即为所求.（2）∵f（x）是偶函数∴∫()＝2∫()又∵∫()＝6，∴∫()＝12．故答案为：12．(3)如图①，11xdx＝－A1＋A1＝0.(4)如图②，20cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．定积分∫√等于。【答案】【解析】由题意可知定积分表示半径为的半个圆的面积，所以().2．已知函数f(x)＝5,1,1{,[1,,,3xxxxsinxx求f(x)在区间[－,3π]上的定积分．【答案】2112【解析】由定积分的几何意义知：∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；3sinxdx＝0(如图(1)所示)；xdx＝(1＋π)(π－1)＝2112(如图(2)所示)．【套路总结】1.利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.2.对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.3.设函数()fx在闭区间[,]aa上连续，则若()fx是偶函数，则0()d2()daaafxxfxx；若()fx是奇函数，则()d0aafxx.∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋3sinxdx＝xdx＝2112．3.利用定积分的几何意义求π22π22()sinddcosxxfxxx，其中21,0()31,0xxfxxx.【答案】见解析【解析】ππ20222ππ22022ddd()sincos(31)(21)sincosddfxxxxxxxxxxxx.∵sincosyxx为奇函数，∴π2π2sincosd0xxx.利用定积分的几何意义，如图，∴0271(31)28d2xx，2031(21)122dxx，故π22π22()dsincosd8206fxxxxx.考向二微积分定理的运用【例2】计算下列定积分：（1）221(23)dxxx；（2）0πcosd(e)xxx；（3）0π22dsin2xx；（4）94(1)dxxx.【解析】（1）322222222221111111ddd25(23)23||3|3d3xxxxxxxxxxx.（2）00000ππππππ1(cose)dcosdedsin|e|1exxxxxxxxx.（3）πππππππ2222000002222001111sinsin(1cos)(1cos)1cos||22222d2dddd2xxxxxxxxxxxπ24.（4）1399999292244444421271(1)()||dddd326xxxxxxxxxxxx.【举一反三】1．∫()(3)___________【答案】【解析】∫()(3)∫(33)332．∫（√）-______________【答案】【解析】由定积分的几何意义知∫√--表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即∫√--，∴∫(√-)-∫√--∫-|-3．∫（√)____________.【答案】3【解析】原式化为∫∫√，∫333，根据定积分的几何意义可知，∫√等于以原点为圆心，以为半径的圆面积的一半，即∫√，所以∫(√)3，故答案为3.4．∫()3________．【答案】3【解析】∫()33(3)()3，故答案为：3.考点三积分在几何中的运用【例3】求由曲线22yx与3yx，0x，2x所围成的平面图形的面积（画出图形）.【答案】1【解析】画出曲线22yx与3yx，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组223yxyx，可得12xx或.故平面图形的面积为122201(2)3d3(2)dSxxxxxx3223120133(2)|(2)|3223xxxxxx=1.所以所求图形的面积为1【举一反三】1．由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为。【答案】1【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分∫πππππ(π).2．如图，求曲线1,2,3yxyxyx所围成图形的面积.【套路总结】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的.（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【解析】由2yxyx解得(1,1)A.由213yxyx解得(3,1)B.所以所求阴影部分的面积为31321232010111211()d(2)d()(2)33363Sxxxxxxxxxx136.3．曲线y＝√与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为。【答案】【解析】由解析式作出如图所示简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与x轴围成曲边三角形OCB的面积与的面积之差.联立两函数解析式，求出交点C的坐标为：()，则点B的坐标为：()，求出直线与x轴交点A坐标为：()，则曲边三角形的面积为：∫3，的面积为：，所以两线与x轴围成图形的面积为：.考向四定积分在物理中的应用【例4】设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功.【答案】见解析【解析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，()Fx表示加在弹簧上的力(单位：N).由题意，得()Fxkx，且当0.05mx时，(0.05)100NF，即0.05100k，解得2000k，则()2000Fxx.故将弹簧由25cm伸长到40cm时所做的功为0.1520.15002000d1000|22.5(J)Wxxx.【举一反三】1．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A【解析】由图可知，曲线v甲，直线0tt和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线0tt和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确，D【套路总结】1．已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分.2．利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可.错误；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可预测总会有某时刻乙车会超过甲车，故B错误.1．∫√。【答案】【解析】函数√表示单位圆位于轴上方的部分，结合定积分的几何意义和定积分的运算法则可得：∫√∫√().2．若函数()()()的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为。【答案】．-√3【解析】由图可知，，3()，即.∴，则()().∴图中的阴影部分面积为∫()()|()()(√3)√33．从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为。【答案】3【解析】图中阴影部分的面积为∫33，长方形区域的面积为×3＝3，因此，点M取自图中阴影部分的概率为3．【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行4．若2211dsxx，122d1sxx，132dexsx，则123sss，，的大小关系为。【答案】213sss【解析】22321111817d|3333sxxx，222111dln|ln2lne=1sxxx，22311de|exxsx22ee2.72.74.59，所以213sss.5.已知函数()fx为偶函数，且60()d8fxx，则66()dfxx________.【答案】16【解析】因为函数()fx为偶函数，所以6660()d2()d16fxxfxx.6.若π20(sincos2)dxxax，则实数a等于________.【答案】-1【解析】取()cossinFxxax，则()sincosFxxax，所以ππ2200(sincos)d(cossin)|12xaxxxaxa，解得1a.7．物体A以231(m/s)vt的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以10(m/s)vt的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用时间(s)t为【答案】5s【解析】物体A经过ts行驶的路程为20(31)dttt，物体B经过ts行驶的路程为010dttt，则有2323200(3110)d(5)|55ttttttttttt，解得t=5.10.已知函数2213,[3,0]3()9,(0,3]xxfxxx，则33()dfxx.【答案】9π64【解析】303223301()d(3)d9d3fxxxxxx，其中023311(3)d(39xxx033)6x，3209dxx由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的41，即9π4，故339π()d64fxx.故填9π64.11．如图，在边长为1的正方形OABC内，阴影部分是由两曲线2(,01