2020年高考数学一轮复习 专题2.15 利用导数求参数范围练习（含解析）

第十四讲利用导数求参数范围考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3a3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．若函数21ln(2()2)xafxx在区间(1,)上是减函数，则实数a的取值范围是A．[1,)B．(1,)C．(,1]D．(1,1)【答案】C【解析】由题意知()02afxxx，即(2)axx在(1,)上恒成立，由二次函数的性质，知【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()fx（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D→求导'()fx→解不等式'()fx＞0得解集P→求DP,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数()fx在某个区间可导，'()fx＞0()fx在这个区间是增函数一般地，函数()fx在某个区间可导，'()fx＜0()fx在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数()fx在某个区间可导，()fx在这个区间是增(减)函数'()fx≥()0【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'()fx＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到'()fx≥（≤）0，必须要带上等号。③求函数的单调增（减）区间，要解不等式'()fx＞()0，此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。在(1,)上，(2)1xx，则1a.故选C.2．已知函数321()5(0)3fxaxxa在(0,2)上不单调，则a的取值范围是（）A．01aB．102aC．112aD．1a【答案】D【解析】由321()5(0)3fxaxxa得2()2fxaxx.因为函数()fx在(0,2)上不单调，所以()fx在(0,2)上存在零点，而0a，所以202a，解得1a.故选D.3.已知函数2()lnfxxxax，aR.若函数()fx在其定义域上为增函数，求a的取值范围.【答案】[22,)【解析】方法一：函数()fx的定义域为(0,)，2()lnfxxxax，∴1()2fxxax.∵函数()fx在(0,)上单调递增，∴()0fx，即120xax对(0,)x都成立，∴12axx对(0,)x都成立.当0x时，1122222xxxx，当且仅当12xx，即22x时，取等号.∴22a，即22a，∴a的取值范围为[22,).方法二：函数()fx的定义域为(0,)，2()lnfxxxax，∴2121()2xaxfxxaxx.方程2210xax的根的判别式为28a.①当0，即2222a时，2210xax，此时，()0fx对(0,)x都成立,故函数()fx在定义域(0,)上是增函数.②当0，即22a或22a时，要使函数()fx在定义域(0,)上为增函数，只需2210xax对(0,)x都成立.设2()21hxxax，则(0)1004ha，得0a.故22a.综合①②得a的取值范围为[22,).考向二利用极值求参数【例2-1】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，∵x＝±1是函数的极值点．∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1.②又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞1；令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．【举一反三】1.已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【答案】x＋y－2＝0.；（2）见解析；【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．【例2-2】已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.(1)若f(x)在x＝1处有极值－1，求b，c的值．(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．【套路总结】函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．【答案】见解析【解析】(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋C．由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1.∴3＋2b＋c＝0，1＋b＋c＋2＝－1，解得b＝1，c＝－5.经验证，b＝1，c＝－5符合题意．(2)由(1)知f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f′(x)＝3x2＋2x－5.由f′(x)＝0，得x1＝－53，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－53)－53(－53，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数根据上表，当x＝－53时函数取得极大值且极大值为f(－53)＝22927，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.根据题意结合上图可知实数k的取值范围为(－1，22927)．【举一反三】1.已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.试分析方程a＝f(x)的根的个数．【答案】见解析【解析】∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．由f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝283.当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－43.且f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：①当a＞283或a＜－43时，方程a＝f(x)有一个根．②当－43＜a＜283时，方程a＝f(x)有三个根．③当a＝283或a＝－43时，方程a＝f(x)有两个根．考向三利用最值求参数【例3-1】已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a.∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7.∴f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.【例3-2】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8C．所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8C．因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，所以9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．【举一反三】1．设f(x)＝ax3－3ax2＋b(a＞0)在区间[