2020年高考数学一轮复习 专题2.7 二次函数及幂函数练习（含解析）

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x3y＝x2y＝xy＝12xy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a【套路秘籍】---千里之行始于足下单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数()223(22)nnfxnnx－＝＋－(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．【答案】1【解析】由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数𝑓(𝑓)=(𝑓2−𝑓−1)𝑓𝑓2+2𝑓−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数𝑓=()A．−1B．2C．3D．2或−1【答案】A【解析】∵函数𝑓(𝑓)=(𝑓2−𝑓−1)𝑓𝑓2+2𝑓−3是幂函数，∴𝑓2−𝑓−1=1，解得：𝑓=2或𝑓=−1，𝑓=2时，𝑓(𝑓)=𝑓，其图象与两坐标轴有交点不合题意，𝑓=−1时，𝑓(𝑓)=1𝑓4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故𝑓=−1，故选：A．【套路总结】1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2.在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．4.幂函数的定义及其判断，其中熟记判断一个函数是否为幂函数的依据是看该函数是否为𝑦=𝑥𝛼(𝛼是常数）的形式，即满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1．反之，若一个函数为幂函数。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始2．已知函数𝑓（𝑓）=(3𝑓2−2𝑓)𝑓𝑓是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数𝑓(𝑓)=𝑓𝑓的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．𝑓(𝑓)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．𝑓(𝑓)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．𝑓(𝑓)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．𝑓(𝑓)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√𝑓，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=𝑓𝑓的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3B．12，1C．−1，3D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝𝑓𝑓的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝𝑓𝑓的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当𝑓∈{−1,12,1,3}时，幂函数𝑓=𝑓𝑓的图象不可能经过的象限是A．第二象限B．第三象限C．第三、四象限D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝𝑓𝑓（x≥0），g（x）＝𝑓𝑓𝑓𝑓x的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）因为𝑓=𝑓−1经过第一、三象限；𝑓=𝑓12经过第一象限；𝑓=𝑓1经过第一、三象限；𝑓=𝑓3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝xa（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝logax的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0）是增函数，g（x）＝logax是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数𝑓=𝑓12的图象可能是（）A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】幂函数y=𝑓12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①𝑓=𝑓13，②𝑓=𝑓2，③𝑓=𝑓12，④𝑓=𝑓−1B．①𝑓=𝑓3，②𝑓=𝑓2，③𝑓=𝑓12，④𝑓=𝑓−1C．①𝑓=𝑓2，②𝑓=𝑓3y=x3，③𝑓=𝑓−1，④𝑓=𝑓12D．①𝑓=𝑓13，②𝑓=𝑓12，③𝑓=𝑓2，④𝑓=𝑓−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数𝑓(𝑓)=𝑓𝑓(𝑓≥0)，𝑓(𝑓)=log𝑓𝑓(𝑓0,且𝑓≠1)的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数𝑓1，对数函数0𝑓1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0𝑓1，而对数函数要求，𝑓1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0𝑓1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1n0,0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1【答案】B【解析】由题图知，𝑓=𝑓𝑓在[0,+∞)上是增函数，𝑓=𝑓𝑓在(0,+∞)上为减函数，∴𝑓0,𝑓0，又当𝑓1时，𝑓=𝑓𝑓的图象在𝑓=𝑓的下方，𝑓=𝑓𝑓的图象在𝑓=𝑓−1的下方，∴𝑓1,𝑓−1，从而0𝑓1,𝑓−1，故选B.考向三比较大小【例3】设𝑓=(35)25,𝑓=(25)35,𝑓=(25)25，则𝑓,𝑓,𝑓的大小关系是A．𝑓𝑓𝑓B．𝑓𝑓𝑓C．𝑓𝑓𝑓D．𝑓𝑓𝑓【答案】A【解析】对于函数𝑓=(25)𝑓，在(0,+∞)上是减函数，∵3525，∴(25)35(25)25，即𝑓𝑓；对于函数𝑓=𝑓25，在(0,+∞)上是增函数，∵3525，∴(35)25(25)25，即𝑓𝑓．从而𝑓𝑓𝑓．故A正确．【举一反三】1.已知点(𝑓,9)在幂函数𝑓(𝑓)=(𝑓−2)𝑓𝑓的图象上，设𝑓=𝑓(𝑓− 13),𝑓=𝑓(ln13)，𝑓=𝑓(√22)则𝑓,𝑓,𝑓的大小关系为（）A．𝑓𝑓𝑓B．𝑓𝑓𝑓C．𝑓𝑓𝑓D．𝑓𝑓𝑓【答案】A【解析】由𝑓(𝑓)=(𝑓−2)𝑓𝑓为幂函数得𝑓−2=1,𝑓=3,因为点(3,9)在幂函数𝑓(𝑓)上，所以3𝑓=9，𝑓=2,即𝑓(𝑓)=𝑓2，因为𝑓=𝑓(𝑓− 13)=𝑓(3− 13),𝑓=𝑓(ln13)=𝑓(𝑓𝑓3),又3− 13√221𝑓𝑓3,所以𝑓𝑓𝑓，选A.2．设𝑓=20.3，𝑓=30.2，𝑓=70.1，则𝑓、𝑓、𝑓的大小关系为（）A．𝑓𝑓𝑓B．𝑓𝑓𝑓C．𝑓𝑓𝑓D．𝑓𝑓𝑓【答案】B【解析】由题意得：𝑓=20.3=√2310=√810，𝑓=30.2=√3210=√910，𝑓=70.1=√710𝑓=√𝑓10在(0,+∞)上是增函数且987∴𝑓𝑓𝑓本题正确选项：𝑓3.．已知𝑓=(√2)125，𝑓=925，𝑓=4log4𝑓2，则下列结论成立的是（）A．𝑓𝑓𝑓B．𝑓𝑓𝑓C．𝑓𝑓𝑓D．𝑓𝑓𝑓【答案】A【解析】𝑓=265=6415，𝑓=345=8115，∵6481，∴64158115，即𝑓𝑓，𝑓=e243345=𝑓，故𝑓𝑓𝑓，选A.考向四二次函数解析式【例4】(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.(3)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.【答案】（1）f(x)＝x2－2x＋3（2）x2＋2x（3）x2＋2x＋1【解析】（1）由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b2＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.（2）设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.（3）设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.【举一反三】1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.【答案】x2－4x＋3【解析】因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1.求二次函数解析式的方法【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得