概率论起源于博弈问题早在15-16世纪意大利数学家就开始...

概率论起源于博弈问题．早在15-16世纪意大利数学家就开始讨论“两人赌博提前结束的赌金分配”等概率问题，1654年，数学家费马（Fermat，1601-1665）和帕斯卡（Pascal,1623-1662）在书信交往中利用组合方法给出了赌金分配的解答．背景1657年，荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，1629-1695）发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论文章．1713年，发表了雅科布.伯努利（Jacob.Bernoulli，1654-1705）的遗著《推测术》（ArsConjectandi）,它奠定了概率论的理论基础．后人在此基础上形成了完善的《概率论》公理化体系，从而成为一门独立的数学分支．7.1随机事件及概率7.1.1随机试验7.1.2随机事件7.1.3事件的关系与运算一、案例在日常生活中，经常遇到下面的情况．某人在外出考虑是否携带雨伞时，往往通过观察天气，分析下雨的可能性有多大或从天气预报中了解天气变化情况．中央电视台在播报天气预报时，采用晴转阴或多云降雨的可能性为80％这样的报道．案例1[观察天气]抛一枚硬币是否出现“徽面”（以下称徽面为正面，掷一粒骰子，是否出现“0”点．案例2[抛硬币]数字面为反面）．案例3[掷骰子]甲、乙两人进行乒乓球比赛，裁判用抛掷案例4[比赛场地选择]硬币的办法决定场地或发球权的选择，请问这样公平吗？7.1.1随机试验一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例在常压下，水加热到100oC，必定会沸腾；煤碳燃烧产生二氧化碳．这些都是物理或化学实验，其结果只有一个并且是确定的．掷一枚骰子，观察出现的点数；某人从一盒灯泡中取出一个，观察是否发亮．案例1[物理、化学实验]案例2[掷骰子、取灯泡]二、概念和公式的引出随机试验试验的结果不止一个，试验前并不知道哪一种结果会发生，我们把这类试验称为随机试验．随机试验在日常生活中，随处可见，例如：（1）抛一枚硬币三次，记录出现正面的次数；（2）记录某寻呼台在一分钟内接到的呼叫次数；（3）甲、乙两人进行5局乒乓球比赛，记录甲胜的局数；（4）观察今天的天气，预测明天的天气的情况．三、进一步练习练习[日常生活问题]7.1.2随机事件一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例[试验的结果]观察以下试验结果：（1）抛出一物体，下落；（2）向某一目标射击，击中目标；（3）抛一枚硬币，出现正面；（4）李军今年高考，被北京大学录取；（5）掷一枚骰子，出现“7”点．（1）是必然要发生的事件；（2）、（3）、（4）是可能发生，也可能不发生的事件；（5）是不可能发生的事件．二、概念和公式的引出随机事件随机试验的结果称为随机事件．在某次试验中，必然要发生的事件称为必然事件，用表示；可能发生，也可能不发生的事件，称为随机事件，常用大写字母A、B、C等表示；不可能发生的事件，称为不可能事件，用表示。随机试验的每一可能结果，称为一个基本事件．基本事件是不能再分解的事件，由基本事件组成的事件称为复合事件．一个随机试验的基本事件全体组成的集合，称为基本空间．掷一枚骰子的试验结果有6种，即出现1、2、3、“出现i点”（i=1,2,3,4,5,6)是随机事件；“出现小于3点”，即出现1点或2点，也是随机事件．但“出现小于3点”这一事件由“出现1点”和“出现2点”组成，是一个复合事件．三、进一步练习练习1[掷骰子]4、5、6点．在掷一枚骰子试验中，若用ei表示“出现i点”i=1,2,3,4,5,6,则},,,,,{654321eeeeee为一个基本空间．练习2[抛硬币]在抛一枚硬币的试验中，a0表示“出现正面”，},{10aa为一个基本空间．a1表示“出现反面”，则7.1.3事件的关系与运算一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习一、案例（一）事件的包含与相等在一次射击中，事件A表示“命中8环”，事件B表示“命中至少5环”，显然，事件A发生时，B一定发生．在掷一枚骰子试验中，表示“出现奇数点”，表示“出现1，3，5点”，显然，事件发生时，事件一定发生，同时，事件发生时，事件也一定发生．案例1[射击]案例2[掷骰子]如果事件A发生必然导致事件B发生，则称ABBA或二、概念和公式的引出包含关系事件B包含事件A，记作事件相等如果事件ABBA同时,则称事件A与A＝B事件B相等，记作在军训打靶时，“命中环数不小于7环”与“命中环数为7，8，9，10环”是相等事件．三、进一步练习练习[打靶]一、案例（二）事件的和（并）案例[射击]甲、乙二人同时向同一目标射击，如果A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，C表示“击中目标”．那么C发生，就相当于A与事件B中至少有一个发生．如果事件A与事件B至少有一个发生，该事件BA二、概念和公式的引出事件的和（并）如图（b）所示．称为事件A与B的和（并），记作袋中装有10个同规格的球，将它们分别标上1至10之间的号码，从袋中任取一球，记三、进一步练习练习[摸球]A表示“取到号码在2至5之间的球”，即}5,4,3,2{AB表示“取到号码在3至7之间的球”，即}7,6,5,4,3{B则}7,6,5,4,3,2{BA一、案例[摸球]（三）事件的积（交）在上面摸球练习中，如果C表示“取到号码在3至5之间的球”，那么C发生就相当于A与B同时发生．如果事件A与事件B同时发生，该事件称为事件二、概念和公式的引出事件的积（交）如图（c）所示．BA）A与事件B的积（交），记作AB（或设A表示“掷一枚骰子出现1，3，4点”，B表示“掷一枚骰子出现2，3，4，5点”，则AB表示“出现3，4点”．三、进一步练习练习[掷骰子]一、案例[掷骰子]（四）事件的互斥（互不相容）掷一枚骰子一次，如果A表示“出现1，2点”，B表示“出现3，4点”，那么A与B不可能同时发生．如果事件A与事件B不能同时发生，那么称事件ABAAB或二、概念和公式的引出事件互斥（互不相容）如图（d）所示．与事件B互斥（或互不相容），记作一、案例[抛硬币]（五）事件的对立（互逆）抛一枚硬币一次，如果A表示“出现正面”，B表示“出现反面”，那么A与B不可能同时发生，但其中必有一个发生．在一次试验中，如果事件A与事件B不能同时发生，二、概念和公式的引出事件的对立（互逆）如图（e）所示．称事件A与事件B对立（或互逆），记作BABA或也称A是A的逆事件．BAAB且但其中必有一个发生，即事件的关系如下图所示（e）（d）（a）（b）（c）由事件的关系与运算定义，有下列运算规律：1．交换律2．结合律3．分配律BAABABBA,CBACBA)()(CABBCA)()()()()(ACABCBA))(()(CABABCA4．吸收律5．德.摩根律若BA，则BBA，且AAB,ABABABAB设Ak表示“第k次取到合格品”（k＝1，2，3）试用符号表示下列事件：三、进一步练习练习1[产品检验]（1）三次都取到合格品；（2）三次中至少有一次取到合格品；（3）三次中恰有两次取到合格品；（4）解释323121AAAAAA表示什么事件？解（1）三次都取到合格品：（3）三次中恰有两次取到合格品；321AAA（2）三次中至少有一次取到合格品：321AAA321321321AAAAAAAAA（4）表示三次中最多有一次取到合格品313221AAAAAA设Ak表示“第k个元件损坏”（k=1,2,3），如下图所示．请用符号表示电路断路和畅通．练习2[电路分析]解电路断路可表示为：321AAA电路畅通可表示为：321AAA7.1.4随机事件的概率一、案例二、概念和公式的引出一、案例[抛硬币]连续抛一枚硬币次，记录出现正面的次数．下表试验者抛掷次数(m)正面向上的次数(n)正面出现频率(m/n)D.Moivre204810610.5180L.Buffon404020480.5069K.person1200060190.5016K.person24000120120.5005Wiener30000149940.4998列出了历史上一些科学家试验的结果．二、概念和公式的引出频率在n次试验中，若事件A发生的次数为m，则称nmAAfn试验的总次数发生的次数事件)(为事件A在n次试验中发生的频率，m称为事件A在n次试验中的频数．概率随机事件A发生的可能性大小，称为事件A的在相同条件下，重复进行n次试验，如果随着试验概率的统计定义概率，记作P(A)．次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于某个确定的常数p，则称该常数p为事件A发生的概率，即P(A)=p．7.1.5古典概型一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习一、案例抛一枚硬币，出现的结果有两种，即“出现正面”和“出现反面”，由概率的统计意义可知出现正、反面的概率均为0.5．案例2[抽奖券]外观完全一致的10张奖券，其中一等奖品的奖券1张，二等奖品的奖券2张，三等奖品的奖卷3张．现从中任抽一张，抽到一等奖奖券的概率为多少呢？案例1[抛硬币]案例1、2有两个共同特点：（1）每次试验的可能结果是有限个；（2）每个试验结果的出现是等可能的．二、概念和公式的引出概率的古典定义在古典概型中，如果一个随机试验的基本空间包含有n个基本事件，事件A包含的基本事件个数为m，那么事件A发生的概率为nmAAP＝件个数基本空间包含的基本事包含的基本事件个数事件)(从概率统计定义和古典定义，可以得到概率的性质1事件A的概率满足1)(0AP性质2必然事件和不可能事件的概率分别为0)(,1)(PP如下性质：一个盒中装有号码为1、2、3的三个白球，号码为1、2的两个红球，现从盒中任取一球，（1）写出所有的基本事件，并求出基本事件总数；（2）求“取的是红球”的概率．三、进一步练习练习1[取球]解（1）设Ai表示“取到i号白球”（i=1,2,3），Bi表示“取到i号红球”（i=1,2），则所有基本事件为21321,,,,BBAAA，基本空间},,,,{21321BBAAA基本事件总数n=5．(2)设B表示“取的是红球”，事件B={B1,B2}，m=2，则52)(nmAP掷一枚骰子，求点数不大于4的概率．练习2[掷骰子]解设ei表示“掷出i点”（i=1,2,3,4,5,6），A表示“点数即m=4．故3264)(nmAP不大于4”，则基本空间},,,,,{654321eeeeee，即基本事件总数n=6；事件},,,{4321eeeeA，