2020届高考数学总复习 第十二章 选修四 12-1 坐标系课时作业 文（含解析）新人教A版

12-1坐标系课时作业A组——基础对点练1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程．(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解析】(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)法一：将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.法二：直线C3的直角坐标方程为x－y＝0，圆C2的圆心C2(1，2)到直线C3的距离d＝12＝22，圆C2的半径为1，∴|MN|＝2×12－222＝2，所以△C2MN的面积为12.2．(2019·合肥质检)已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝3＋3t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C的方程为sinθ－3ρcos2θ＝0.(1)求曲线C的直线坐标方程．(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．【解析】(1)∵sinθ－3ρcos2θ＝0，∴ρsinθ－3ρ2cos2θ＝0，即y－3x2＝0.(2)将x＝1＋12t，y＝3＋3t，代入y－3x2＝0，得3＋3t－31＋12t2＝0，即t＝0.从而交点坐标为(1，3)．∴交点的一个极坐标为2，π3.3．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标．(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0，联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程．(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.B组——能力提升练1．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsinθ＋π4＝22上的动点，求M，N的最小距离．【解析】因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsinθ＋π4＝22上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求出圆C的直角坐标方程．(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2－4x＝0，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)l：y＝2x关于点M(0，m)对称的直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故|4＋2m|5≤2，解得－2－5≤m≤5－2，于是，实数m的最大值为5－2.3．(2019·珠海摸底)在直角坐标系xOy中，直线l过定点P()1，－3且与直线OP垂直．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－2cosθ＝0.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程．(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|＋1|PB|的值．【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝2x直线l的参数方程为x＝1＋32ty＝－3＋12t(t为参数)．(2)设A、B对应的参数分别为t1，t2将直线l与曲线C的方程联立得t2－83t＋4＝0则t1，t2是方程的两根则t1＋t2＝83t1t2＝4故t1，t2同正．∴1|PA|＋1|PB|＝1t1＋1t2＝t1＋t2t1t2＝834＝23.4．(2019·武昌调考)在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为2，π4.(1)求点C的直角坐标．(2)若点P在曲线C2：x2＋y2＝4上运动，求|PB|2＋|PC|2的取值范围．【解析】(1)点A2，π4的直角坐标为(1，1)．由A，C关于y轴对称，则C(－1，1)．(2)易得B(0，2)，C(－1，1)．曲线C1：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.设P(x，y)，x＝2cosθ，y＝2sinθ，则|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－2)2＋(x＋1)2＋(y－1)2＝2x2＋2y2－6y＋2x＋6＝14＋2(x－3y)＝14＋2(2cosθ－6sinθ)＝14＋4(cosθ－3sinθ)＝14＋410cos(θ＋φ)．所以|PB|2＋|PC|2∈[14－410，14＋410]．