2020届高考数学总复习 第九章 解析几何 9-8-1 圆锥曲线的综合问题课时作业 文（含解析）新人

9-8-1圆锥曲线的综合问题课时作业A组——基础对点练1．已知边长为83的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C：x2＝2py(p0)上．(1)求抛物线C的方程．(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求l1l2＋l2l1的最大值．【解析】(1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±43，12)，代入抛物线方程可得(±43)2＝2p×12，解得p＝2.∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设M(a，b)，则a2＝4b.半径R＝|MD|＝a2＋（b－2）2，可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2.不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)．∴l1＝（a－2）2＋4，l2＝（a＋2）2＋4，∴l1l2＋l2l1＝l21＋l22l1l2＝2a2＋16a4＋64＝2（a2＋8）2a4＋64＝21＋16a2a4＋64，(*)当a≠0时，由(*)得，l1l2＋l2l1＝21＋16a2＋64a2≤21＋162×8＝22.当且仅当a2＝64a2，即a＝±22时取等号．当a＝0时，l1l2＋l2l1＝2.综上可知，l1l2＋l2l1的最大值为22.2．设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程．(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【解析】(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e＝ca＝22，由2a＝4，ca＝22，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝2，b＝2，故椭圆M的方程为y24＋x22＝1.(2)联立方程y＝2x＋m，x22＋y24＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，由Δ＝(22m)2－16(m2－4)0，得－22m22.且x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44，所以|AB|＝1＋2|x1－x2|＝3·（x1＋x2）2－4x1x2＝3·12m2－m2＋4＝3·4－m22.又P到直线AB的距离为d＝|m|3，所以S△PAB＝12|AB|·d＝32·4－m22·|m|3＝124－m22·m2＝122m2（8－m）2≤122·m2＋（8－m2）2＝2.当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S△PAB)max＝2.B组——能力提升练1．(2019·珠海摸底)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2是其左右焦点，A1，A2为其左右顶点，B1，B2为其上下顶点，若∠B1F2O＝π6，|F1A1|＝2－3(1)求椭圆C的方程．(2)过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)，l与l1，l2交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.【解析】(1)由题设知c＝32a，a－c＝2－3，a2＝b2＋c2.解得a＝2，b＝1，c＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由题设知，l1：x＝－2，l2：x＝2l与C的方程联立消y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0∵l与C相切∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝0得m2－4k2＝1l与l1，l2联立得M(－2，－2k＋m)，N(2,2k＋m)又F1(－3，0)，F2(3，0)∴kMF1·kNF1＝－2k＋m－2＋3·2k＋m2＋3＝m2－4k2－1＝－1∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝π2.同理可得∠MF2N＝π2，∴∠MF1N＝∠MF2N.2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线x23－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【解析】(1)∵双曲线的离心率为233，∴椭圆的离心率e＝ca＝32.又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为(2，0)，即a＝2，c＝3，b＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4（m2－1）1＋4k2，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故y1x1·y2x2＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2x1x2＝k2⇒－8k2m21＋4k2＋m2＝0.由m≠0得k2＝14，解得k＝±12.又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)0，得0m22，显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O到直线的距离为d，则S△OMN＝12|MN|d＝12·|m|1＋k2·1＋k2·|x1－x2|＝12|m|（x1＋x2）2－4x1x2＝－（m2－1）2＋1.故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)．