2020届高考数学一轮复习 综合检测一（标准卷）理（含解析） 新人教A版

综合检测一(标准卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x2－5x＋40}，则M∩N为()A．{2,3,4,5}B．{2,3}C．{3,4,5}D．{2,3,4}答案B解析∵N＝{x|x2－5x＋40}＝{x|1x4}，M＝{2,3,4,5}，则M∩N＝{2,3}．2．复数z＝2－i1＋i对应的点在复平面内位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析z＝2－i1＋i⇒z＝2－i1－i1＋i1－i＝1－3i2＝12－3i2，故z在复平面内对应的点位于第四象限．3．直线x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是()A．－3m1B．－4m2C．0m1D．m1答案A解析圆(x－1)2＋y2＝2，圆心(1,0)到直线x－y＋m＝0的距离小于半径2，由点到直线的距离公式得|1＋m|22，∴－3m1.4．若x，y满足x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1答案B解析作出题设约束条件可行域，如图△ABC内部(含边界)，作直线l：x＋2y＝0，把直线l向上平移，z增加，当l过点B(3,2)时，z＝3＋2×2＝7为最大值．故选B.5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.6＋π36B.8＋π36C.8＋2π36D.9＋2π36答案B解析几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为2的正方形；半圆锥高为3，底面为半径为1的半圆，因此体积为13×3×22＋13×3×π·122＝8＋π36，故选B.6．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．an＝nB．an＝n＋1nn－1C．an＝n2D．an＝2n－1答案A解析由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴an＋1n＋1＝ann，∴数列ann是常数列．且ann＝a11＝1，∴an＝n，故选A.7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析∵sinC＝23sinB，∴由正弦定理得c＝23b，则c2＝12b2.又a2－b2＝3bc，那么a2＝7b2，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6b243b2＝32，∵A∈(0°，180°)，∴A＝30°.8．如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为7时，输出的y值恰好是－1，则“？”处应填的关系式可能是()A．y＝2x＋1B．y＝3－xC．y＝|x|D．y＝log13x答案A解析依题意，输入的x的值为7，执行4次循环体，x的值变为－1，这时，如果输出的y值恰好是－1，则函数关系式可能为y＝2x＋1.9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A0，||φπ2的图象如图所示，为了得到g(x)＝cosωx的图象，则只要将f(x)的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度答案A解析由函数的图象可得A＝1，则T4＝14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，由图象可得2×π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|π2，可得φ＝π3，故函数的解析式为f(x)＝sin2x＋π3，由f(x)＝sin2x＋π3＝cosπ6－2x＝cos2x－π12，故将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到g(x)＝cosωx的图象．10．球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB＝6，BC＝8，AC＝10，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为()A.400π3B．150πC.500π3D.600π7答案A解析∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，其外接圆半径为AC2＝5，即截面的圆的半径为r＝5，又球心到截面的距离为d＝R2，∴R2－R22＝r2＝25，R＝1033，∴S＝4πR2＝400π3.11．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，已知点A和B分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则||MN||AB的最大值为()A.3B．1C.233D.33答案D解析如图所示，过A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab，整理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，因为ab≤a＋b22，则(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－a＋b22＝34(a＋b)2，即|AB|2≥34(a＋b)2，所以|AB|2|MN|2≥34a＋b214a＋b2＝3，所以|AB||MN|≥3，即|MN||AB|≤33，当且仅当a＝b，即|AF|＝|BF|时取等号，故选D.12．已知函数f(x)＝lnx＋x－t2x，t∈R，若对任意的x∈[1,2]，f(x)－x·f′(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A．(－∞，2)B.－∞，32C．(－∞，3)D.－∞，94答案B解析∵f′(x)＝x2－lnx＋1－t2x2，∴对任意的x∈[1,2]，f′(x)·x＋f(x)＞0恒成立⇔对任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1x＞0恒成立⇔对任意的x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立⇔t＜2x2＋12x＝x＋12x＝x＋12x恒成立，令g(x)＝x＋12x，又g(x)＝x＋12x在[1,2]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝32，∴t＜32.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为3，则a与b的夹角为________．答案π6解析∵b在a上的投影为3，∴|b|cos〈a，b〉＝|b|·b·a|b|·|a|＝3＋3m2＝3，m＝3，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝62×23＝32，∵0≤〈a，b〉≤π，∴向量a与b的夹角为π6.14．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________.答案180解析∵(1＋x)10＝(－1－x)10＝[(－2)＋(1－x)]10,(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C810·(－2)2＝180.15．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则a的最大值为________．答案233解析易知A(－1,0)，设P(x，y)，由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化简得x－132＋y2＝169，可转化为直线3x＋4y－a＝0与圆x－132＋y2＝169有公共点，所以d＝|1－a|5≤43，解得－173≤a≤233.故a的最大值为233.16．已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是____________．答案0，25∪[1，＋∞)解析f′(x)＝3a－4x＋1x，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－1x，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，又a＞0，所以0＜a≤25或a≥1.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在锐角△ABC中，a,b,c为内角A，B，C的对边，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0.(1)求角B的大小；(2)已知c＝2，AC边上的高BD＝3217，求△ABC的面积S的值．解(1)∵(2c－a)cosB－bcosA＝0，由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，∴(2sinC－sinA)cosB＝sinBcosA，2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，∵A＋B＝π－C且sinC≠0，∴cosB＝12，∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝12BD·b，代入c＝2，BD＝3217，sinB＝32，得b＝73a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4－2a，代入b＝73a，得a2－9a＋18＝0，解得a＝3，b＝7或a＝6，b＝27，又∵三角形为锐角三角形，∴a2c2＋b2，∴a＝3，b＝7.∴S△ABC＝12acsinB＝12×2×3×32＝332.18．(12分)在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示：组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数215202524104(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(37Z≤79)；(2)在(1)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)2040概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与均值．附：参考数据与公式：198≈14.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544,P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.解(1)E(Z)＝35×0.02＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.24＋85×0.1＋95×0.04＝65，故μ＝65，σ＝198≈14，∴P(65－14Z≤65＋14)＝P(51Z≤79)＝0.6826，P(65－2×14Z≤65＋2×14)＝P(37Z≤93)＝0.9544.∴P(37Z≤51)＝P37Z≤93－P51Z≤792＝0.1359.综上，P(37Z≤79)＝P(37Z≤51)＋P(51Z≤79)＝0.1359＋0.6826＝0.8185.(2)易知P(Zμ)＝P(Z≥μ)＝12，获赠话费ξ的可能取值为20,40,60,80.P(ξ＝20)＝12×34＝38；P(ξ＝40)＝12×14＋12×34×34＝1332；P(ξ＝60)＝12×34×14＋12×14×34＝316；P(ξ＝80)＝12×14×14＝132.