2020届高考数学一轮复习 单元检测四 三角函数、解三角形（提升卷）单元检测 理（含解析） 新人教A

单元检测四三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴正半轴上的角是零角B．三角形的内角必是第一、二象限内的角C．不相等的角的终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与β的终边相同答案D解析对于A，因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α＝2kπ(k∈Z)，A错误；对于B，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B错误；对于C，例如30°≠－330°，但其终边相同，C错误，故选D.2．已知角θ的终边经过点－35，45，则sin2θ2的值为()A.110B.15C.45D.910答案C解析因为点－35，45在角θ的终边上，所以cosθ＝－35，则sin2θ2＝1－cosθ2＝45，故选C.3．(2019·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知sinπ3－α＝13，则sinπ6－2α等于()A.79B．－79C．±79D．－29答案B解析∵sinπ3－α＝cosπ2－π3－α＝cosπ6＋α＝13，∴sinπ6－2α＝cosπ2－π6－2α＝cos2π6＋α＝2cos2π6＋α－1＝2×19－1＝－79.4．(2018·南充模拟)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝－1，则f(2020)等于()A．1B．2C．0D．－1答案A解析由题知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，则asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故选A.5．已知函数g(x)＝sinωx(ω0)，若y＝g(x)在0，π4上为增函数，则ω的最大值为()A．2B．4C．5D．6答案A解析由已知，函数g(x)包含坐标原点的单调递增区间是－π2ω，π2ω.若函数y＝g(x)在0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，只要π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2.6．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab答案A解析由题可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°sin23°，所以bc，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°sin35°，所以ab.综上，abc，故选A.7．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin2x＋θ＋π6.因为f(x)为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋π6＝θ＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得θ＝kπ＋π3(k∈Z)．当k＝0时，θ取得最小正实数值π3，故选B.8．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0|φ|π2的部分图象如图所示，则f(x)等于()A.12sin14x＋π8B.12sin4x－π8C.12sin14x－π8D.12sin4x＋π8答案C解析由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝29π2－π2＝8π，A＝12，所以ω＝2π8π＝14，f(x)＝12sin14x＋φ，由点π2，0在函数f(x)的图象上，可知sinπ8＋φ＝0，又0|φ|π2，所以φ＝－π8，所以f(x)＝12sin14x－π8.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．则角B的大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12，又B∈(0，π)，解得B＝2π3，故选C.10．已知函数f(x)＝3sin2x－2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝－4，则|x1－x2|的值可能为()A.π3B.π4C.π2D．π答案C解析由题意得f(x)＝3sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π6－1，则g(x)＝2sin6x－π6，故函数g(x)的最小正周期T＝2π6＝π3.由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)与g(x2)的值一个为2，另一个为－2，故|x1－x2|＝T2＋kT＝π6＋kπ3(k∈Z)．当k＝1时，|x1－x2|＝π2，故选C.11．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝74，已知D是AC上一点，且S△BCD＝23，则ADAC等于()A.59B.49C.23D.13答案A解析设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则由c2sinA·cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，得k2sinAsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝74，所以sinB＝34，所以S△ABC＝12acsinB＝32，所以ADAC＝S△ABDS△ABC＝1－S△BCDS△ABC＝59，故选A.12．已知f(x)＝2sinωxcos2ωx2－π4－sin2ωx(ω0)在区间－2π3，5π6上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是()A.0，35B.12，35C.12，35D.12，＋∞答案B解析f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以－π2ω，π2ω是含原点的单调递增区间，因为函数f(x)在区间－2π3，5π6上是增函数，所以－2π3，5π6⊆－π2ω，π2ω，所以－π2ω≤－2π3，5π6≤π2ω，解得ω≤35.又ω0，所以0ω≤35.因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2ω≤π5π2ω，解得12≤ω52.综上ω的取值范围为12，35，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知锐角α满足cosα－π4＝cos2α，则sinαcosα＝________.答案14解析由cosα－π4＝cos2α，得22(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因为cosα＋sinα≠0，所以可化简得cosα－sinα＝22，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝12，解得sinα·cosα＝14.14．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为π3，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.答案450π解析由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为12×π3×60×60－12×π3×30×30＝450π(cm2)．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝72，△ABC的面积为332，且tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，则a＋b＝________.答案112解析由tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，得tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，又A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＝2π3，所以C＝π3.由S△ABC＝12absinC＝332，得ab＝6.又cosC＝a2＋b2－c22ab＝a＋b2－c2－2ab2ab＝12，解得a＋b＝112.16．已知函数f(x)＝32sinx＋π6－12cosx＋π6，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1x2…xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，则n的最小值为________．答案8解析f(x)＝32sinx＋π6－12cosx＋π6＝sinx＋π6－π6＝sinx．由y＝sinx的图象知，对xi，xi＋1(i＝1,2,3，…，n)有|f(xi)－f(xi＋1)|max＝f(x)max－f(x)min＝2，则要使n取得最小值，应尽可能多的使xi(i＝1,2,3，…，n)取得极值点，所以在区间[0,6π]上，当xi的值分别为x1＝0，x2＝π2，x3＝3π2，x4＝5π2，x5＝7π2，x6＝9π2，x7＝11π2，x8＝6π时，n取得最小值8.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.解(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.18．(12分)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的图象关于直线x＝－π6对称，且图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域．解(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π，所以T＝2πω＝π，解得ω＝2.因为函数f(x)的图象关于直线x＝－π6对称，所以2×－π6＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，解得φ＝5π6＋kπ(k∈Z)．又－π2φπ2，所以φ＝－π6.(2)由(1)知f(x)＝3sin2x－π6，因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1，则－32≤f(x)≤3.所以当x∈0，π2时，函数f(x)的值域为－32，3.19．(13分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且accosB＋bccosA＝a2－b2＋8cosA.(1)若s