2020届高考数学一轮复习 单元检测七 不等式、推理与证明（提升卷）单元检测 理（含解析） 新人教A

单元检测七不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若ab0，则下列不等式一定不成立的是()A.1a1bB.－a－bC．|a|－bD.1a－b1b答案A解析因为ab0，所以1a－1b＝b－aab0，即1a1b，A不成立；－a－b0，－a－b，B成立；－a＝|a||b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，1a－b＝－12，1b＝－1，故1a－b1b，D成立．2．不等式2x＋13－x≤0的解集为()A.－12，3B.－12，3C.－∞，－12∪(3，＋∞)D.－∞，－12∪[3，＋∞)答案C解析不等式2x＋13－x≤0可化为2x＋13－x≤0，3－x≠0，∴2x＋1x－3≥0，3－x≠0，解得x≤－12或x3，∴不等式2x＋13－x≤0的解集为－∞，－12∪(3，＋∞)．3．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1，由此归纳出{an}的通项公式答案C解析因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．4．“1＋3x－1≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由1＋3x－1≥0，得x＋2x－1≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋3x－1≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋3x－1≥0”，故“1＋3x－1≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.5．若x0，y0，且2x＋8y－xy＝0，则xy的最小值为()A．8B．14C．16D．64答案D解析∵x0，y0，且2x＋8y－xy＝0，∴xy＝2x＋8y≥216xy，∴xy≥8，∴xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时取等号，∴xy的最小值为64，故选D.6．已知实数a0，b0，1a＋1＋1b＋1＝1，则a＋2b的最小值是()A．32B．22C．3D．2答案B解析∵a0，b0，1a＋1＋1b＋1＝1，∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·1a＋1＋1b＋1－3＝1＋2＋2b＋1a＋1＋a＋1b＋1－3≥3＋22－3＝22，当且仅当2b＋1a＋1＝a＋1b＋1，即a＝2，b＝22时取等号，∴a＋2b的最小值是22，故选B.7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a0，b0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b的最小值为()A．10B．8C．5D．4答案B解析由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，所以4a＋b＝1.所以12a＋2b＝(4a＋b)12a＋2b＝4＋b2a＋8ab≥4＋2b2a·8ab＝8，当且仅当b2a＝8ab，即a＝18，b＝12时，等号成立．所以12a＋2b的最小值为8.故选B.8．在不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为()A.23B.35C.29D.47答案C解析如图，不等式组x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为12×3×32＝94，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为12×1×1＝12.所以点M恰好落在第二象限的概率为1294＝29，故选C.9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x，y满足x＋y≤2，2x－y≥－2，2y－x≥1，则z＝3y－x的取值范围为()A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6]答案D解析画出不等式组x＋y≤2，2x－y≥－2，2y－x≥1表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．因为z＝3y－x，所以y＝13x＋13z.当直线y＝13x＋z3在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝13x＋z3经过点A(－1,0)，在y轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为()A．1000元B．2000元C．3000元D．4000元答案D解析设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组5x＋5y≥30，6≤x＋y≤12，x≥1，(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．易知当直线y＝－53x＋z600过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量x，y满足约束条件x2＋y2≤4，y≥－x，y≤x＋2，则t＝y－2x－3的取值范围是()A.0，32B.0，125C.0，125D.－125，0答案B解析作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．t＝y－2x－3表示可行域内的点与点M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M的连线与圆x2＋y2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有|3k－2|1＋k2＝2，解得k＝125或k＝0，所以t＝y－2x－3的取值范围是0，125，故选B.12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z(单位：L)，其中装有体积为y(单位：L)的水(xz，yz)．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n(n∈N*)次操作之后，乙容器中含有纯酒精an(单位：L)，下列关于数列{an}的说法正确的是()A．当x＝y＝a时，数列{an}有最大值a2B．设bn＝an＋1－an(n∈N*)，则数列{bn}为递减数列C．对任意的n∈N*，始终有an≤xyzD．对任意的n∈N*，都有an≤xyx＋y答案D解析对于A，若x＋yz，每次倾倒后甲容器都有剩余，则ana2，故A错误；对于B，若x＋y＝z，则每次操作后乙容器所含酒精都为xyx＋y，bn＝0，故B错误；对于C，若x＝1，y＝1，z＝3，则a1＝12，xyz＝13，则a1xyz，故C错误；对于D，当n→＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x＋y≤z时，an＝xyx＋y，当x＋yz时，anxyx＋y，故选D.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________．答案[－2,4]解析关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0可化为(x－1)(x－a)0.当a＝1时，(x－1)20，无解，满足题意；当a1时，不等式的解集为{x|1xa}；当a1时，不等式的解集为{x|ax1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4，且a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2,4]．14．已知x≥32，则2x2－2x＋1x－1的最小值为__________．答案22＋2解析设t＝x－1，则x＝t＋1t≥12，所以2x2－2x＋1x－1＝2t＋12－2t＋1＋1t＝2t2＋2t＋1t＝2t＋1t＋2≥22＋2，当且仅当t＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2.15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)答案影视配音解析由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．16．(2018·重庆调研)已知定义在R上的函数y＝f(x)为增函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a，b满足不等式f(4a－a2)＋f(b2－2b－3)≤0，则当2≤a≤4时，a2＋(b－1)2的最大值为______．答案20解析易知f(x)是奇函数，又f(x)是增函数，∴4a－a2≤－b2＋2b＋3，∴|a－2|≥|b－1|，在平面直角坐标系中画出|a－2|≥|b－1|，2≤a≤4表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a2＋(b－1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a，b)的距离的平方，由图可知动点(a，b)在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a2＋(b－1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f(x)＝2x＋2x＋1.(1)若x∈(－1，＋∞)，求f(x)的最小值，并指出此时x的值；(2)求不等式f(x)≥2x＋2的解集．解(1)由x∈(－1，＋∞)可得x＋10.因为f(x)＝2x＋2x＋1＝2x＋2＋2x＋1－2≥4－2＝2，所以f(x)≥2，当且仅当2x＋2＝2x＋1，即x＝0时取等号．故f(x)的最小值为2，此时x＝0.(2)由f(x)≥2x＋2，得－2xx＋1≥0，所以－1x≤0，故所求不等式的解集为(－1,0]．18．(12分)已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.(1)若f23＝203，且a0，b0，求ab的最大值；(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝a＋b＋2a＋1的取值范围．解(1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f23＝203，所以a＋b－43＝203，即a＋b＝8.因为a0，b0，所以a＋b≥2ab，即4≥ab，所以ab≤16，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以ab的最大值为16.(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，