2020高考数学刷题首选卷 数形结合思想专练（理）（含解析）

数形结合思想专练一、选择题1．若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)0的解集是()A．{x|－3x0或x3}B．{x|x－3或0x3}C．{x|x－3或x3}D．{x|－3x0或0x3}答案B解析因为f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则在(－∞，0)上是减函数．而x·f(x)是奇函数，画x·f(x)大致图象如图，由图可知：x·f(x)0的解集为{x|x－3或0x3}．故选B．2．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值为()A．12B．33C．32D．3答案D解析方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2，0)，半径为r＝3(如图)，而yx＝y－0x－0，则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A在以M(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM＝2，AM＝3，OA⊥AM，则OA＝OM2－AM2＝1，tan∠AOM＝AMOA＝3，故yx的最大值为3．故选D．3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．2D．22答案C解析如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c．由题意知CA→⊥CB→，∴O，A，C，B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC→|＝2．4．(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝2xx－1，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1，2)对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称答案A解析由f(x)＝2xx－1＝2＋2x－1知f(x)是y＝ax(a0)型函数，作出其简图如图所示．从图象可以看出f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称；其在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上均是减函数；没有能使AB∥x轴的点存在．即只有A正确．故选A．5．定义在实数集R上的函数f(x)，满足f(x)＝f(4－x)＝f(x－4)，当x∈[0，2]时，f(x)＝3x－x－1，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|的零点个数为()A．31B．32C．63D．64答案B解析由题意知，f(x)是偶函数，图象关于直线x＝2对称，周期是4．当x∈[0，2]时，f(x)＝3x－x－1，f′(x)＝3xln3－1，则f′(x)≥0在[0，2]上恒成立，由此作出函数f(x)的图象．在同一坐标系中作出函数y＝|log2(x－1)|的图象，由图象知，两函数图象共有32个交点，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|共有32个零点，故选B．二、填空题6．当x∈(1，2)时，(x－1)2logax恒成立，则a的取值范围为________．答案(1，2]解析在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象，若y＝logax过(2，1)，则loga2＝1，∴a＝2．结合图形，若使x∈(1，2)时，(x－1)2logax恒成立，则1a≤2．7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．答案－2，12解析因为(－2)28×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12，故使△APF的周长最小的点P的坐标为－2，12．8．(2018·北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x．若在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．答案25，23解析由题可知f(x)为周期为2的偶函数，可得图象如右，因为在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，即过定点A(－2，0)的直线y＝ax＋2a在区间[－2，3]与函数f(x)图象恰有四个交点，则由图可知直线斜率kACakAB，由A，B，C三点坐标可得斜率kAC＝25，kAB＝23，即可得a的取值范围为25，23．三、解答题9．(2018·山西四校联考)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|．(1)求f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值时x的取值范围；(2)若不等式f(x)≤a(x＋1)的解集为空集，求实数a的取值范围．解(1)∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，∴f(x)min＝3，此时x∈[－1，2]．(2)f(x)＝－2x＋1，x－1，3，－1≤x2，2x－1，x≥2，那么函数f(x)的图象如图所示．由于y＝a(x＋1)的图象是过定点P(－1，0)、斜率为a的直线，由图可得不等式f(x)≤a(x＋1)的解集为空集时，a的取值范围是kAC≤akPB，即a∈[－2，1)．10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，求m的最大值．解根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m．因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m．要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6．11．已知a0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；(2)当a∈(0，3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1，2]上的最小值．解(1)当a＝1时，因为x|x－1|＋1＝x，所以x＝－1或x＝1．(2)f(x)＝x2－ax＋1，x≥a，－x2＋ax＋1，xa，(其示意图如图所示)①当0a≤1时，x≥1≥a，这时，f(x)＝x2－ax＋1，对称轴是x＝a2≤121，所以函数y＝f(x)在区间[1，2]上递增，f(x)min＝f(1)＝2－a；②当1a≤2时，当x＝a时，函数f(x)min＝f(a)＝1；③当2a3时，x≤2a，这时，f(x)＝－x2＋ax＋1，对称轴是x＝a2∈1，32，f(1)＝a，f(2)＝2a－3．因为(2a－3)－a＝a－30，所以函数f(x)min＝f(2)＝2a－3．综上，当0a≤1时，f(x)min＝2－a；当1a≤2时，f(x)min＝1；当2a3时，f(x)min＝2a－3．12．设函数F(x)＝fx，x≤0，gx，x0，其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝12x2－lnx，方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．解x∈(0，1)时，g′(x)＝x－1x0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－1x0，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝12．(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；(2)当a0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，若x∈(－∞，0]时，f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1，0]时，f′(x)0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图1所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解；(3)当a0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，当x∈(－1，0]时，f′(x)0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，从图象看出方程F(x)＝a2若有4个解，则12a22a，且2a12，所以实数a的取值范围是22，2．分类讨论思想专练一、选择题1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a等于()A．－3B．－38C．3D．38或－3答案D解析当a0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1，2]上单调递增，可知当x＝2时，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝38．当a0时，易知f(x)在x＝－1处取得最大值，即－a＋1＝4，所以a＝－3．综上可知，a＝38或－3．故选D．2．(2018·河南洛阳一模)函数f(x)＝sinπx2，－1x0，ex－1，x≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为()A．1B．1，－22C．－22D．1，22答案B解析f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，则需f(a)＝1．当a≥0时，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1；当－1a0时，由f(a)＝sin(πa2)＝1得πa2＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴a2＝2k＋12(k∈Z)，由－1a0知k只能取0，此时a2＝12，∵－1a0，∴a＝－22．综上，a＝1或－22．故选B．3．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0，1)∪(1，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．0，12答案D解析方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个不同实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0a1时，如图1，∴02a1，即0a12．②当a1时，如图2，而y＝2a1不符合要求．综上0a12．故选D．4．(2018·邯郸摸底)已知a0且a≠1，函数f(x)＝x2－2x＋3，x≤2，1＋logax，x2存在最小值，则f(2a)的取值范围为()A．[3，＋∞)B．[2，＋∞)C．(1，2]D．(1，3]答案A解析当a＞1时，f(x)的值域为[2，＋∞)∪(1＋loga2，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的值域为[2，＋∞)∪(－∞，1＋loga2)．由f(x)存在最小值知a＞1且1＋loga2≥2，所以a∈(1，2]，因而f(2a)＝1＋loga(2a)＝1＋loga2＋logaa≥3．故选A．5．(2018·福建质检)已知A，B分别为椭圆C的长轴端点和短轴端点，F是C的焦点．若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为()A．3－12B．2－32C．12D．32答案A解析设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则|BF|2＝|OF|2＋|OB|2＝c2＋b2＝a2，|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝a2＋b2，所以|AB|＞|BF|．①如图，点F与A，B同侧时．|AF|＝a－c，|BF|＝a，所以|AF|＜|BF|，所以|AB|＞|BF|＞|AF|，所以△ABF不能构成等腰三角形．②如图，点F与A，B异侧时．|AB|＝a2＋b2，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，所以|AF|＞|BF|，|AB|＞|BF|．所以|AF|＝|AB|，故(a＋c)2＝a2＋b2，即(a＋c)2＝2a2－c2，整理得2e2＋2e－1＝0，e＝－1±32．又0＜e＜1，所以离心率e＝3－12．故选A．6．在约束条件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是()A．[6，15]B．