2020高考数学刷题首选卷 考点测试64 离散型随机变量的均值与方差（理）（含解析）

离散型随机变量的均值与方差、正态分布高考概览高考在本考点的考查涉及各种题型，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义一、基础小题1．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析x＝0与x＝a－2关于x＝1对称，则a－2＝2，a＝4．故选A．2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是()A．809B．559C．509D．103答案C解析由题意，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B10，59，所以E(X)＝509．故选C．3．某种种子每粒发芽的概率都为0．9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400答案B解析种子发芽率为0．9，不发芽率为0．1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0．1)，∴E(ξ)＝1000×0．1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200．故选B．4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0．6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2．4B．2和2．4C．2和5．6D．6和5．6答案B解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X．因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0．6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0．6×0．4＝2．4．故选B．5．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为()A．6B．395C．415D．9答案B解析记此人得奖金额为随机变量X，则X的可能取值有6，9，12，且P(X＝6)＝C38C310＝715，P(X＝9)＝C28C12C310＝715，P(X＝12)＝C18C310＝115，则E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝395．故选B．6．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0．32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A．10B．9C．8D．7答案B解析因为ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0．32，所以P(105ξ≤115)＝0．32，P(ξ115)＝12－0．32＝0．18，所以此次数学考试成绩不低于115分的学生人数为50×0．18＝9．故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1．75，则p的取值范围是()A．0，712B．712，1C．0，12D．12，1答案C解析由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋31．75，解得p52或p12，又由p∈(0，1)，可得p∈0，12．故选C．8．已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)＝0，x≤0，e－x，x0，则随机变量X落在区间(1，3)内的概率为()A．e＋1e2B．e2－1e3C．e2－eD．e2＋e答案B解析由随机变量X的概率密度函数的意义得P＝13e－xdx＝－e－x31＝e2－1e3．故选B．二、高考小题9．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜12，则()A．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)B．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)C．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)D．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)答案A解析由题意可知ξi(i＝1，2)服从两点分布，∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．又∵0p1p212，∴E(ξ1)E(ξ2)．把方差看作函数y＝x(1－x)，根据0p1p212知，D(ξ1)D(ξ2)．故选A．10．(2018·浙江高考)设0p1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p2则当p在(0，1)内增大时()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小答案D解析由题意得E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝12＋p，D(ξ)＝0－12＋p2·1－p2＋1－12＋p2·12＋2－12＋p2·p2＝18[(1＋2p)2(1－p)＋(1－2p)2＋(3－2p)2·p]＝－p2＋p＋14＝－p－122＋12．由01－p21，0p21，1－p2＋12＋p2＝1，得0p1，∴D(ξ)在0，12上单调递增，在12，1上单调递减．故选D．11．(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0．6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0．9544．)A．2386B．2718C．3413D．4772答案C解析由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，所以P(－1X1)＝0．6826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1)＝0．3413，即图中阴影部分的面积为0．3413．由几何概型知点落入阴影部分的概率P＝0.34131＝0．3413．因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0．3413＝3413．故选C．12．(2015·湖北高考)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)答案C解析由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2μ1．∴P(Y≥μ2)P(Y≥μ1)，故A错误；由图象知σ1σ2且均为正数，∴P(X≤σ2)P(X≤σ1)，故B错误；对任意正数t，由题中图象知P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确，D错误．13．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0．02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．答案1．96解析由题意得X～B(100，0．02)，∴D(X)＝100×0．02×(1－0．02)＝1．96．三、模拟小题14．(2018·长春质监)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ2)＝0．15，则P(0≤ξ≤1)＝()A．0．85B．0．70C．0．35D．0．15答案C解析P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0．5－P(ξ2)＝0．35．故选C．15．(2018·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σX≤μ＋σ)＝0．6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0．9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0．9974．)A．0．9772B．0．6826C．0．9974D．0．9544答案A解析∵X～N(800，502)，∴P(700≤X≤900)＝0．9544，∴P(X900)＝1－0.95442＝0．0228，∴P(X≤900)＝1－0．0228＝0．9772．故选A．16．(2018·西安质检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝()A．3B．72C．185D．4答案C解析由题意知ξ的可能取值为2，3，4，P(ξ＝2)＝25×14＝110，P(ξ＝3)＝25×34＋35×24×13＝15，P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－110－15＝710，∴E(ξ)＝2×110＋3×15＋4×710＝185．故选C．17．(2018·广东茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝68．26%，P(μ－2σXμ＋2σ)＝95．44%．)A．7539B．6038C．7028D．6587答案D解析∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1．∵P(μ－σXμ＋σ)＝68．26%，∴P(0X2)＝68．26%，则P(1X2)＝34．13%．∴阴影部分的面积为1－0．3413＝0．6587，∴向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0．6587＝6587．故选D．18．(2018·安徽合肥名校联考)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X0)＝0．8，则P(X≥2)＝________．答案0．2解析随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝1对称，∴P(x≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X0)＝0．2．一、高考大题1．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．20．150．250．20．1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25＝50．故所求概率是502000＝0．025．(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由题意知，P(A)估计为0．25，P(B)估计为0．2．故所求概率估计为0．25×0．8＋0．75×0．2＝0．35．(3)由两点分布方差公式可知D(ξk)＝p(1－p)．所以D(ξ1)＝0．4×(1－0．4)＝0．24，D(ξ2)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ3)＝0．15×(1－0．15)＝0．1275，D(ξ4)＝0．25×(1－0．25)＝0．1875，D(ξ5)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ6)＝0．1×(1－0．1)＝0．09．所以D(ξ1)D(ξ4)D(ξ2)＝D(ξ5)D(ξ3)D(ξ6)．2．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸