2020高考数学刷题首选卷 考点测试18 任意角和弧度制 理（含解析）

考点测试18任意角和弧度制、任意角的三角函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低等难度考纲研读1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点－45，35，则tanα＝()A．－43B．－45C．－35D．－34答案D解析根据三角函数的定义，tanα＝yx＝35－45＝－34，故选D．2．若sinα＜0且tanα＜0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案D解析由sinα＜0，得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上；由tanα＜0，得α在第二或第四象限，故α是第四象限角．故选D．3．sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在答案A解析∵sin20，cos30，tan40，∴sin2cos3tan40．故选A．4．已知扇形的半径为12cm，弧长为18cm，则扇形圆心角的弧度数是()A．23B．32C．2π3D．3π2答案B解析由题意知l＝|α|r，∴|α|＝lr＝1812＝32．故选B．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα的值为()A．45B．－45C．35D．－35答案D解析因为点A的纵坐标yA＝45，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35．故选D．6．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝()A．3B．±3C．－2D．－3答案D解析依题意得cosα＝xx2＋5＝24x0，由此解得x＝－3，故选D．7．已知角θ的终边过点P(－4k，3k)(k0)，则2sinθ＋cosθ的值是()A．25B．－25C．25或－25D．随着k的取值不同而不同答案B解析因为角θ的终边过点P(－4k，3k)(k＜0)，所以点P到原点的距离为－4k2＋3k2＝－5k，所以sinθ＝3k－5k＝－35，cosθ＝－4k－5k＝45，2sinθ＋cosθ＝2×－35＋45＝－25，故选B．8．若α是第二象限角，则α3一定不是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析∵π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π6＋2kπ3α3π3＋2kπ3，k∈Z．若k＝3n(n∈Z)，α3是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，α3是第二象限角；若k＝3n＋2(n∈Z)，α3是第四象限角．故选C．9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析①中，第二象限角可能大于第一象限角，也可能小于第一象限角，比如120°是第二象限角，370°是第一象限角，故①错误；②中，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或直角，故②错误；③中，角度大小与半径无关，故③正确；④中，α与β的终边也可以关于y轴对称，故④错误；⑤中，θ是第二或第三象限的角或(2k＋1)π(k∈Z)，故⑤错误．故本题正确答案为A．10．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．答案四解析由角α是第三象限角，知2kπ＋πα2kπ＋3π2(k∈Z)，则kπ＋π2α2kπ＋3π4(k∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由sinα2＝－sinα2知sinα20，所以α2只能是第四象限角．11．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案－675°或－315°解析所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．12．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．答案518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，设扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，∴α＝5π6．∴扇形的弧长与圆周长之比为lc＝5π6·2r32πr＝518．二、高考小题13．(2014·全国卷Ⅰ)若tanα0，则()A．sinα0B．cosα0C．sin2α0D．cos2α0答案C解析由tanα0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα0，故选C．14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A．15B．55C．255D．1答案B解析根据题给条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·1a2＋12－1＝23，解得a2＝15，即|a|＝55，所以|a－b|＝|a－2a|＝55．故选B．15．(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A．12B．32C．0D．－12答案A解析由题意得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝0＋12－12＋12＝12．故选A．16．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________．答案13解析由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝13，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝13．三、模拟小题17．(2018·大同调研)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为()A．－12175B．12175C．－7975D．7975答案A解析由已知得|OM|＝5，因而cosθ＝－35，sinθ＝45，tanθ＝－43，则cos2θ－sin2θ＋tanθ＝925－1625－43＝－12175．故选A．18．(2018·济南模拟)已知sinθ－cosθ1，则角θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由已知得(sinθ－cosθ)21，即1－2sinθcosθ1，sinθcosθ0，又sinθcosθ，所以sinθ0cosθ，所以角θ的终边在第二象限．故选B．19．(2018·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα＝()A．sin2B．－sin2C．cos2D．－cos2答案D解析因为r＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝yr＝－cos2．故选D．20．(2018·湖北三校联考)已知角x的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，则角x的最小正值为()A．5π6B．5π3C．11π6D．2π3答案B解析∵sin5π6＝12，cos5π6＝－32，∴角x的终边经过点12，－32，tanx＝－3，∴x＝2kπ＋5π3，k∈Z，∴角x的最小正值为5π3．(也可用同角基本关系式tanx＝sinxcosx得出．)故选B．21．(2018·唐山模拟)在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋π4的终边上，则m＝()A．－6或1B．－1或6C．6D．1答案A解析由题意得，tanα＝m3，tanα＋π4＝42m＝2m，∴2m＝1＋m31－m3，∴m＝－6或1，故选A．22．(2018·福州一模)已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－1，1]D．－12，12答案C解析设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12cosα＝sin(α＋150°)∈[－1，1]．故选C．23．(2018·江西鹰潭期中)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________．答案π3解析一个周角是2π，因此分针10分钟转过的角的弧度数为1060×2π＝π3．24．(2018·山东泰安月考)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0απ)的弧度数为________．答案3解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，所以α＝3．一、高考大题1．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．解(1)由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45．(2)由角α的终边过点P－35，－45，得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213．由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665．二、模拟大题2．(2018·福建龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x．求sinα＋1tanα的值．解∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2．又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x．∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23．当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同样可求得sinα＋1tanα＝65－66．3．(2018·安徽芜湖月考)如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．解设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·π3＋t·－π6＝2π．所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则xC＝－cosπ3×4＝－2，yC＝－sinπ3×4＝－23．所以C点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q点走过的弧长为2π3×4＝8π3．4．(2018·河北冀州调研)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈π4，π2．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．(1)若x1＝35，求x2；(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tanα的值．解(1)因为x1＝35，y10，所以y1＝1－x21＝45，所以sinα＝45，cosα＝35，所以x2＝cosα＋π4＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝－210．(2)S1＝12sinαcosα＝14sin2α．因为α∈π4