2020高考数学刷题首选卷 第一章 集合与常用逻辑用语 考点测试2 命题及其关系 理（含解析）

考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1．理解命题的概念2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义一、基础小题1．命题“若a∉A，则b∉B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∈BC．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∈A答案B解析由原命题与否命题的定义知选B．2．命题“正数m的平方等于0”的逆命题为()A．正数m的平方不等于0B．若m的平方等于0，则它是正数C．若m不是正数，则它的平方不等于0D．若m的平方不等于0，则它不是正数答案B解析依题意原命题可以写成“若m是正数，则它的平方等于0”，所以由逆命题的定义可知，其逆命题为“若m的平方等于0，则它是正数”，故选B．3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数C．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数答案D解析命题的逆否命题为否定原命题的条件和结论并交换条件和结论的位置，所以命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选D．4．已知x1，x2∈R，则“x11且x21”是“x1＋x22且x1·x21”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由x11且x21得x1＋x21＋1＝2，x1·x21×1＝1，所以x11且x21是x1＋x22且x1·x21的充分条件；设x1＝3，x2＝12，则x1＋x2＝722且x1·x2＝321，但x21，所以不满足必要性．故选A．5．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分，已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，在下列四个命题中，为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不高于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分答案C解析“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，“低于”的否定为“不低于”；“都没有及格”的否定为“至少有一人及格”．故选C．6．命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2，f(x)＝x2x2＋1，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B．7．下面四个条件中，使ab成立的必要不充分条件是()A．a－1bB．a＋1bC．|a||b|D．a3b3答案B解析寻找使ab成立的必要不充分条件，若ab，则a＋1b一定成立，a3b3也一定成立，但是当a3b3成立时，ab也一定成立，故选B．8．在下列四个命题中，其中的假命题是()①命题“若m＋n2t，则mt且nt”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“末位数字不为零的数能被3整除”的逆否命题；④命题“若c1，则方程x2－2x＋c＝0没有实数根”的否命题．A．②③B．①④C．①②D．③④答案A解析因为①中所给命题的逆命题“若mt且nt，则m＋n2t”成立，所以①为真命题．因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．因为③中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．因为④中所给命题的否命题“若c≤1，则方程x2－2x＋c＝0有实数根”成立，所以④为真命题．综上知，应选A．9．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”显然是假命题，所以“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题．因为“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，所以“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题，故“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选B．10．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)答案逆否命题解析由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．11．已知条件p：x2＋2x－30；条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析由x2＋2x－30，得x－3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．∴{x|xa}{x|x－3或x1}，∴a≥1．12．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)答案充分充要解析由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，q⇒s⇒t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．二、高考小题13．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C．14．(2018·天津高考)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由x－1212得－12x－1212，解得0x1．由x31得x1．当0x1时能得到x1一定成立；当x1时，0x1不一定成立．所以“x－1212”是“x31”的充分而不必要条件．故选A．15．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由存在负数λ，使得m＝λn，可得m，n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m|·|n|0，故充分性成立．由m·n0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A．16．(2017·天津高考)设θ∈R，则“θ－π12π12”是“sinθ12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵θ－π12π12⇔－π12θ－π12π12⇔0θπ6，sinθ12⇔θ∈2kπ－7π6，2kπ＋π6，k∈Z，0，π62kπ－7π6，2kπ＋π6，k∈Z，∴“θ－π12π12”是“sinθ12”的充分而不必要条件．故选A．17．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4＋S62S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析解法一：S4＋S62S5等价于(S6－S5)＋(S4－S5)0，等价于a6－a50，等价于d0．故选C．解法二：∵Sn＝na1＋12n(n－1)d，∴S4＋S6－2S5＝4a1＋6d＋6a1＋15d－2(5a1＋10d)＝d，即S4＋S62S5等价于d0．故选C．18．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．故选A．19．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则a＋bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案－1，－2，－3(答案不唯一)解析答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足abc，但不满足a＋bc．20．(2018·北京高考)能说明“若f(x)f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案f(x)＝sinx，x∈[0，2](答案不唯一)解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0)即可，除所给答案外，还可以举出f(x)＝0，x＝0，1x，0x≤2等．三、模拟小题21．(2018·长春质检二)命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤1B．若－1x1，则x21C．若x1或x－1，则x21D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案D解析对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D．22．(2018·武汉模拟)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5答案C解析命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意．23．(2018·南昌一模)已知a0，b∈R，那么a＋b0是a|b|成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝1，b＝2时，则由a＋b0不能得到a|b|；当a|b|时，ab且a－b，无论b取任何值都有a－b，即a＋b0．故选B．24．(2018·石家庄质检二)设a0且a≠1，则“logab1”是“ba”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件答案C解析当a＝12，b＝13时，满足logab＝log1213＝log23log22＝1，但不满足ba；当a＝12，b＝1时，满足ba，且有logab＝log121＝01，显然不满足logab1．故“logab1”是“ba”的既不充分也不必要条件，故选C．25．(2018·河南郑州一模)下列说法正确的是()A．“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a2≤1”B．“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x04x0成立D．“若sinα≠12，则α≠π6”是真命题答案D解析对于选项A，“若a1，则a21”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于选项B，“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”，因为当m＝0时，am2＝bm2，所以逆命题为假命题，故选项B错误；对于选项C，由指数函数的图象知，对任意的x∈(0，＋∞)，都有4x3x，故选项C错误；对