2020高考数学刷题首选卷 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试39 数学归纳法 理

考点测试39数学归纳法高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中等以上难度考纲研读1．了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析边数最少的凸n边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋11－a，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案B解析当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a．故选B．3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1．所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1检验不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D解析n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项答案D解析1＋12＋13＋…＋12k＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共增加了2k项．5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立答案C解析假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立，而n＝5，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立，故选C．6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，代入验证可知n的最小值是8．故选B．7．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)答案D解析①当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．②假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k∈N*都成立．故选D．8．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋2答案D解析f(n＋1)－f(n)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋…＋1n＋1＋n＋1n＋1＋n＋1－1n＋1－1n＋2－…－1n＋n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2．9．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)答案B解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确．10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a，b，c答案A解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即1＝3a－b＋c，1＋2×3＝322a－b＋c，1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，整理得3a－3b＋c＝1，18a－9b＋c＝7，81a－27b＋c＝34，解得a＝12，b＝c＝14．11．在数列{an}中，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．答案an＝12n－12n＋1解析因为Sn＝n(2n－1)an，当n＝2，3，4时，得出a2＝115，a3＝135，a4＝163．a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝163＝17×9．∴an＝12n－12n＋1．12．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________．答案12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1解析∵f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1，f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k，∴f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1．二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题13．(2018·山东淄博质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是()A．若f(1)2成立，则f(10)11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立答案D解析当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．一、高考大题1．(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0xn＋1xn；(2)2xn＋1－xn≤xnxn＋12；(3)12n－1≤xn≤12n－2．证明(1)用数学归纳法证明：xn0．当n＝1时，x1＝10．假设n＝k时，xk0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋10．因此xn0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)xn＋1．因此0xn＋1xn(n∈N*)．(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln(1＋x)0(x0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤xnxn＋12(n∈N*)．(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥12n－1．由xnxn＋12≥2xn＋1－xn得1xn＋1－12≥21xn－120，所以1xn－12≥21xn－1－12≥…≥2n－11x1－12＝2n－2，故xn≤12n－2．综上，12n－1≤xn≤12n－2(n∈N*)．2．(2015·江苏高考)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解(1)f(6)＝13．(2)当n≥6时，f(n)＝n＋2＋n2＋n3，n＝6t，n＋2＋n－12＋n－13，n＝6t＋1，n＋2＋n2＋n－23，n＝6t＋2，n＋2＋n－12＋n3，n＝6t＋3，n＋2＋n2＋n－13，n＝6t＋4，n＋2＋n－12＋n－23，n＝6t＋5(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－12＋k－23＋3＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋13，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k3＋1＝(k＋1)＋2＋k＋1－12＋k＋1－13，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k－13＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋1－23，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋k＋1－12＋k＋13，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋1－13，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋k＋1－12＋k＋1－23，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．二、模拟大题3．(2018·常德月考)设a0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*．(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a·a1＋aa＋a1＋a＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a·a2＋aa＋a2＋a＝a3＋a．猜想an＝an－1＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即ak＝ak－1＋a，则ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a．这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝an－1＋a．4．(2018·福建三明月考)已知xi0(i＝1，2，3，…，n)，我们知道(x1＋x2)1x1＋1x2≥4成立．(1)求证：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3≥9；(2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)1x1＋1x2＋1x3＋1x4≥16．由上述几个不等式，请你猜测一个与x1＋x2＋…＋xn和1x1＋1x2＋…＋1xn(n≥2，n∈N*)有关的不等式，并用数学归纳法证明．解(1)证法一：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3≥33x1x2x3·331x1·1x2·1x3＝9．证法二：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3＝3＋x2x1＋x1x2＋x3x1＋x1x3＋x3x2＋x2x3≥3＋2＋2＋2＝9．(2)猜想(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn，≥n2(n≥