2020高考数学刷题首选卷 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 考点测试23 正弦定理和余弦定理

考点测试23正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°答案C解析由正弦定理知BCsinA＝ABsinC，即2sinA＝3sin60°，所以sinA＝22，又由题知0°A120°，所以A＝45°．故选C．2．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinCsinB＝()A．85B．58C．53D．35答案C解析在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosA，代入得49＝25＋AC2＋5AC，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，所以sinCsinB＝ABAC＝53，故选C．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A．π3B．π6C．π3或2π3D．π6或5π6答案C解析由余弦定理，知a2＋c2－b2＝2accosB，所以由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac可得2accosB·sinBcosB＝3ac，所以sinB＝32，所以B＝π3或2π3，故选C．4．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案C解析由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．故选C．5．已知△ABC中，cosA＝35，cosB＝45，BC＝4，则△ABC的面积为()A．6B．12C．5D．10答案A解析因为cosA＝35，cosB＝45，所以sinA＝45，sinB＝35，则由正弦定理得BCsinA＝ACsinB，所以AC＝BC·sinBsinA＝3，则由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即32＝AB2＋42－8×45AB，解得AB＝5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，所以其面积为12×3×4＝6，故选A．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝6∶4∶3，则sin2AsinB＋sinC＝()A．－1114B．127C．－1124D．－712答案A解析不妨设a＝6，b＝4，c＝3，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－1124，则sin2AsinB＋sinC＝2sinAcosAsinB＋sinC＝2acosAb＋c＝12×－11244＋3＝－1114，故选A．7．在△ABC中，“sinAsinB”是“AB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析根据正弦定理，“sinAsinB”等价于“ab”，根据“大边对大角”，得“ab”等价于“AB”．故选C．8．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝60°答案C解析由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C中，sinB＝bsinAa＝16×sin45°14＝4271，ba，BA，角B有两个解，故选C．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25答案A解析因为cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcosC＝1＋25－2×1×5×－35＝32，∴AB＝42．故选A．10．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6答案C解析由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2absinC．由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．∵C∈(0，π)，∴C＝π4，故选C．11．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A答案A解析解法一：因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，即cosC(2sinB－sinA)＝0，所以cosC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a．故选A．解法二：由正弦定理和余弦定理得b1＋a2＋b2－c2ab＝2a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，所以2b21＋a2＋b2－c2ab＝a2＋3b2－c2，即2ba(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，即(a2＋b2－c2)2ba－1＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a．故选A．12．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．答案2173解析由asinA＝bsinB得sinB＝basinA＝217，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍去负值)．13．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案233解析根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝12，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bcsinA＝12×833×12＝233．三、模拟小题14．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2答案C解析由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．15．(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝12sinB，且b＝4，则c2－a2＝()A．10B．8C．7D．4答案B解析依题意，有sinCcosA－cosCsinA＝12sinB，由正弦定理得ccosA－acosC＝12b；再由余弦定理可得c·b2＋c2－a22bc－a·b2＋a2－c22ab＝12b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．16．(2018·珠海摸底)在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则△ABC的面积为________．答案3解析根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC＝c2，即16b2＋b2－8b2×12＝13，所以b2＝1，解得b＝1，所以a＝4，所以S△ABC＝12absinC＝12×4×1×32＝3．17．(2018·贵阳期末)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝3bcosA，a＝4，若△ABC的面积为43，则b＋c＝________．答案8解析由asinB＝3bcosA得bsinB＝a3cosA，再由正弦定理bsinB＝asinA，所以asinA＝a3cosA，即tanA＝3，又A为△ABC的内角，所以A＝π3．由△ABC的面积为S＝12bcsinA＝12bc×32＝43，得bc＝16．再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝32，所以b＋c＝b＋c2＝b2＋c2＋2bc＝32＋2×16＝8．18．(2018·长春质检)已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝233，a＝3，则b＝________．答案1解析由S＝12bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，由角平分线定理可知，BDCD＝ABAC＝cb＝2．又BD＋CD＝a＝3，所以BD＝233，CD＝33．在△ABD中，因为BD＝AD＝233，AB＝c＝2b，所以cos∠ABD＝12ABBD＝32b，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD，所以b2＝4b2＋3－43bcos∠ABD＝3＋4b2－6b2，解得b＝1．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC．解(1)在△ABD中，由正弦定理，得BDsinA＝ABsin∠ADB．由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25．由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235．(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25．在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD×DCcos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5．2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为a23sinA．(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA．由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA．故sinBsinC＝23．(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12，所以B＋C＝2π3，故A＝π3．由题设得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8．由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33．故△ABC的周长为3＋33．3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c．(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC．故2sinCcosC＝sinC．因sinC≠0，可得cosC＝12，因为C∈(0，π)，所以C＝π3．(2)由已知，得12absinC＝332．又C＝π3，所以ab＝6．由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7．故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，a＋b＝5．所以△ABC的周长为5＋7．二、模拟大题4．(2018·深圳4月调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acosB＋bsinB＝c．(1)求C的大小；(2)若B＝π3，延长线段AB至点D，使得CD＝3，且△ACD的面积为334，求线段BD的长度．解(1)由已知及正弦定理可得sinAcosB＋sin2B＝sinC．因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin2B＝cosAsinB．因为B∈0，π2，所以sinB0，所以sinB＝cosA，即cosπ2－B＝cosA．因