2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试50 抛物线 文（含解析）

考点测试50抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案A解析依题意，抛物线x2＝4y的准线方程是y＝－1，故选A．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为()A．4B．6C．8D．12答案B解析依题意得，抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B．3．到定点A(2，0)与定直线l：x＝－2的距离相等的点的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y答案A解析由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p＝4，焦点在x轴正半轴上，故选A．4．若抛物线y2＝2px(p0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A．12B．1C．32D．2答案D解析由题意3x0＝x0＋p2，x0＝p4，则p22＝2，∵p0，∴p＝2，故选D．5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于()A．4B．6C．8D．10答案C解析由抛物线y2＝4x得p＝2，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝8，故选C．6．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点为()A．(1，2)B．(0，0)C．12，1D．(1，4)答案C解析解法一：根据题意，直线y＝4x－5必然与抛物线y＝4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y＝4x－5平行的抛物线的切线的切点．由y′＝8x＝4得x＝12，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是12，1，该点到直线y＝4x－5的距离最短．故选C．解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y＝4x－5的距离是d＝|4x－y－5|17＝|4x－4x2－5|17＝4x－122＋417，显然当x＝12时，d取得最小值，此时y＝1．故选C．7．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________．答案π6解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有|PN|＝|NF|，∴|PN|＝32|MN|，∠NMF＝∠MNP．又cos∠MNP＝32，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析根据题意，过点(－2，0)且斜率为23的直线方程为y＝23(x＋2)，与抛物线方程联立y＝23x＋2，y2＝4x，消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN→＝(3，4)，从而可以求得FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8，故选D．10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－1k，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－1k(x－1)．由y＝kx－1，y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1，所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·2k2＋4k22－4＝41＋k2k2．同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝41＋k2k2＋4(1＋k2)＝41k2＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，取得等号．故选A．11．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，所以y21－y22＝4x1－4x2，所以k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′．因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1，1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2．12．(2018·北京高考)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案(1，0)解析由题意得a0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则A(1，2a)，B(1，－2a)，故|AB|＝4a＝4，得a＝1，故抛物线方程为y2＝4x，其焦点坐标为(1，0)．13．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1．由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3．所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1．三、模拟小题14．(2018·沈阳监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a，0)C．0，116aD．116a，0答案C解析将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝14ay(a≠0)，所以焦点坐标为0，116a，故选C．15．(2018·太原三模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若PF→＝3MF→，则|MN|＝()A．163B．8C．16D．833答案A解析由题意F(1，0)，设直线PF的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为准线方程为x＝－1，所以得P(－1，－2k)．所以PF→＝(2，2k)，MF→＝(1－x1，－y1)，因为PF→＝3MF→，所以2＝3(1－x1)，解得x1＝13．把y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，所以x2＝3，从而得|MN|＝|MF|＋|NF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝163．故选A．16．(2018·豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1．∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9．当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9．故选C．17．(2018·青岛质检)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则实数p的值为()A．12B．1C．32D．2答案D解析解法一：设过点A且与抛物线C相切的直线为y＝kx－p2．由y＝kx－p2，x2＝2py，得x2－2pkx＋p2＝0．由Δ＝4p2k2－4p2＝0，得k＝±1，所以得点P－p，p2，Qp，p2，所以△APQ的面积为S＝12×2p×p＝4，解得p＝2．故选D．解法二：如图，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由题意得点A0，－p2．y＝12px2，求导得y′＝1px，所以切线PA的方程为y－y1＝1px1(x－x1)，即y＝1px1x－12px21，切线PB的方程为y－y2＝1px2(x－x2)，即y＝1px2x－12px22，代入A0，－p2，得点P－p，p2，Qp，p2，所以△APQ的面积为S＝12×2p×p＝4，解得p＝2．故选D．18．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________．答案2x－y－1＝0解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得y21＝4x1，y22＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为AB中点为P(1，1)，所以y1＋y2＝2，则有2·y1－y2x1－x2＝4，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝2，从而直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN．解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－12x－1．(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20．由y＝kx－2，y2＝2x，得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝2k，y1y2＝－4．直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝x2y1＋x1y2＋2y1＋y2x1＋2x2＋2．①将x1＝y1k＋2，x2＝y2k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4ky1＋y2k＝－8＋8k＝0．所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN．综上，∠ABM＝∠ABN．2．(2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解(1)证明：设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y＋y022＝4·14y2＋x02即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y