2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试49 双曲线 文（含解析）

考点测试49双曲线一、基础小题1．已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±12x，则双曲线C的离心率为()A．52B．5C．62D．6答案B解析由题意可得ab＝12，则离心率e＝ca＝1＋ba2＝5，故选B．2．已知双曲线x2m2＋16－y24m－3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±54B．±45C．±53D．±35答案D解析由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±ba＝±35，故选D．3．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A．x216－y29＝1B．x216－y29＝1(x≥4)C．x29－y216＝1D．x29－y216＝1(x≥3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16．∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．故选D．4．双曲线x2m－y2＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．3C．1D．12答案C解析焦点F(m＋1，0)到渐近线x±my＝0的距离d＝|m＋1±0|1＋m2＝1，故选C．5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A．x220－y25＝1B．x25－y220＝1C．x280－y220＝1D．x220－y280＝1答案A解析∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2．①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2，1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b．②由①②解得a＝25，b＝5，则C的方程为x220－y25＝1．故选A．6．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝()A．3B．4C．5D．6答案A解析如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F2分别为线段AM，BM的中点，所以|CF1|＝12|AN|，|CF2|＝12|BN|．由双曲线的定义，知|CF1|－|CF2|＝2a＝12(|AN|－|BN|)＝6，所以a＝3，故选A．7．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案x2－y23＝1解析由题意得c－a＝1，ca＝2，解得a＝1，c＝2，则b＝3，故所求方程为x2－y23＝1．8．设F1，F2分别为双曲线x216－y220＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．答案17解析解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8．∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17．又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17．解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|≥2＋8＝109，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x答案A解析∵e＝ca＝3，∴b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝3－1＝2，∴ba＝2．因为该双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A．10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．32B．3C．23D．4答案B解析由题意分析知，∠FON＝30°．所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝12OF＝1，所以|MN|＝3．故选B．11．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A．5B．2C．3D．2答案C解析由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a．在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝|PF2||OF2|＝bc，∵在△PF1F2中，cos∠PF2O＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2||F1F2|＝bc，∴b2＋4c2－6a22b·2c＝bc⇒c2＝3a2，∴e＝3．故选C．12．(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．x24－y212＝1B．x212－y24＝1C．x23－y29＝1D．x29－y23＝1答案C解析∵双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，∴e2＝1＋b2a2＝4，∴b2a2＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，－3a)，∵b2a2＝3，∴渐近线方程为y＝±3x，则点A与点B到直线3x－y＝0的距离分别为d1＝|23a－3a|2＝23－32a，d2＝|23a＋3a|2＝23＋32a，又∵d1＋d2＝6，∴23－32a＋23＋32a＝6，解得a＝3，∴b2＝9．∴双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C．13．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________．答案2解析双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为|bc|b2＋－a2＝32c，∴b＝32c，∴b2＝34c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝ca＝2．14．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．答案233解析如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝aba2＋b2．又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝32|MA|＝32b，即aba2＋b2＝32b，∴a2＝3b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝233．三、模拟小题15．(2018·河北黄冈质检)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．5答案A解析连接OM．由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·22，∴e＝ca＝2．故选A．16．(2018·河南洛阳尖子生联考)设F1，F2分别为双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A．4B．3C．2D．1答案D解析连接PF2，OT，则有|MO|＝12|PF2|＝12(|PF1|－2a)＝12(|PF1|－6)＝12|PF1|－3，|MT|＝12|PF1|－|F1T|＝12|PF1|－c2－32＝12|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝12|PF1|－3－12|PF1|－4＝1，故选D．17．(2018·哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，2为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A．y23－x2＝1B．x23－y2＝1C．y22－x22＝1D．x22－y22＝1答案D解析设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，∴4＝a2＋b2．又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±bax相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为2bb2＋a2＝2，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为x22－y22＝1．故选D．18．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x24－y22＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF周长的最小值为()A．4＋2B．4(1＋2)C．2(2＋6)D．6＋32答案B解析由题意知F(6，0)，设左焦点为F0，则F0(－6，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝0＋62＋2－02＋6－02＋0－22＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B．19．(2018·河南适应性测试)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±12xC．y＝±22xD．y＝±2x答案D解析不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1||PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．又因为2c2a，4a2a，所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝π6．由余弦定理，可得4a2＋2c2－2a22·4a·2c＝32，c2＝3a2，b2＝c2－a2＝2a2⇒ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选D．20．(2018·山西太原五中月考)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝()A．1B．12C．13D．23答案B解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a．又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝2π3，所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝12×2a×4a×32＝23a2．设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|．又知∠BAF2＝π3，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a2，所以S△AF1F2S△ABF2＝23a243a2＝12，故选B．21．(2018·广东六校联考)已知点F为双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，直线y＝kx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．[2，2＋6]B．[2，3＋1]C．[2，2＋6]D．[2，3＋1]答案D解析如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝