（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点31 数列的综合问题必刷题（含解析）

考点31数列的综合问题1．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满足：，.若成等差数列，，，则=__________.【答案】1【解析】根据题意,数列{an}满足：a1=3,(n⩾2)，则a2=2a1−3=2×3−3=3，a3=2a2−3=2×3+3=9，a4=2a3+3=2×9−3=15，其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，又由{ak1}是等差数列,且k1=1，则有k2=3,k3=4，则k3−k2=1．2．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.3．（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟）设数列na的前n项的和为nS，且1142nna，若对于任意的*nN都有143nxSn恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】2,3【解析】由题设可得11221244133212nnnSnn，则2214332nnSn，不等式143nxSn可化为22113332nx，即319122111122nnx，则问题转化为求12n的最大值和最小值。由于*nN，所以12n的最大值和最小值分别为14和12，则319111221142x，即23x，应填答案2,3。点睛：解答本题的关键是求出数列na的前n项的和为nS，11221244133212nnnSnn，进而求出2214332nnSn，将不等式143nxSn等价转化为22113332nx，即319122111122nnx恒成立，从而将问题转化为求12n的最大值和最小值问题。4．（江苏省南通市2018年高考数学模拟试题）设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数列的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），【解析】（1）解：由，得（），两式相减，得，即（）．因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）①由（1）知，，由，得，即，即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以，所以．②设，则，所以，两式相减，得，所以．由，得，即．显然当时，上式成立，设（），即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．5．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.6．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨0m＞.（1）求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示）；（2）若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.【答案】(1)14000.9am，23241.9am(2)40m（3）0,55m【解析】设2018年的碳排放总量为1a，2019年的碳排放总量为2a，…（Ⅰ）由已知，14000.9am,220.94000.94000.90.9ammmm=3241.9m.（Ⅱ）230.94000.90.9ammm324000.90.90.9mmm,…124000.90.90.90.9nnnnammmm,10.94000.94000.91010.910.9nnnnmm,400100.910nmm.由已知有*,550nnNa（1）当400100m即40m时,显然满足题意；（2）当400100m即40m时，由指数函数的性质可得:400100.910550mm，解得190m.综合得40m；（3）当400100m即40m时，由指数函数的性质可得:10550m，解得55m,综合得4055m.（13分）综上可得所求范围是0,55m.7．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三）已知数列na的首项为2，前n项的和为nS，且111241nnnaaS（*nN）．（1）求2a的值；（2）设1nnnnabaa，求数列nb的通项公式；（3）是否存在正整数n，使得3nnaa为整数，若存在求出n，若不存在说明理由.【答案】（1）2143a；（2）14nbn；（3）1n【解析】（1）易得2143a．（2）由111241nnnaaS，得11241nnnnnaaaaS，所以11241nnnnnaaSaa①．所以12121241nnnnnaaSaa②，由②-①，得12112112nnnnnnnnnaaaaaaaaa．因为10na，所以22112nnnnnnaaaaaa．所以121112nnnnnnaaaaaa，即12111nnnnnnaaaaaa，即11nnbb，所以数列nb是公差为1的等差数列．因为112134abaa，所以数列nb的通项公式为14nbn．（3）由（2）知，114nnnanaa，所以114311414nnanann，所以141141nnaann，所以数列41nan是常数列．由124113a，所以2413nan．则34111214141nnanann，注意到413n，且41n为12的约数，所以413,4,6,12n，由*nN知1n．8．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三）已知数列na、nb，其中，112a，数列na满足111nnnana,*2,nnN，数列nb满足112,2nnbbb．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立？若存在,求出m的最小值；（3）若数列nc满足1,{,nnnnnacbn为奇数为偶数，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）2nnb；（2）存在，16m；（3）21243421,43{2421,43nnnnnnTnnn为奇数为偶数．【解析】（1）由111nnnana，即111nnanan．又112a，所以1232112321nnnnnnnaaaaaaaaaaaa12321111432nnnnnn11nn.当1n时，上式成立，因为112,2nnbbb，所以nb是首项为2，公比为2的等比数列，故2nnb.(2)由（1）知2nnb，则21211111111122222nnnbbb.假设存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立，即18224nm恒成立，由824m，解得16m．所以存在自然数m，使得对于任意*,2,nNn有12111814nmbbb恒成立，此时，m的最小值为16.（3）当n为奇数时，241131113nnnTbbbaana241241222nn124142112214nnn214342143nnn；当n为偶数时，2413111131nnnTbbbaana2424222nn241422214nnn2242143nnn.因此21243421,43{2421,43nnnnnnTnnn为奇数为偶数．9．已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，（）．(1)若λ=0，求数列{an}的通项公式；(2)若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（I）（II）【解析】（I）时，．又，．，．．，．（II），，．则，，，（）．相加，得．则（）．上式对也成立，（）．①（）．②②①，得，即．，，．对一切恒成立，对一切恒成立．即对一切恒成立．记，则．当时，；当时，；是一切中的最大项．综上所述，的取值范围是．10．设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N*.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：.【答案】（1）d＝4；（2）；（3）见解析.【解析】（1）3分（2）因为数列是等差数列，即①当时，②①-②，得:，即则以上各式相乘得：因为，8分（3）则③因为当时，，所以上式等号不成立.则11．已知正项等比数列{}na的前n项和为nS，且218S，490S.（1）求数列{}na的通项公式；（2）令2115log3nnba，记数列{}nb的前n项和为nT，求nT及nT的最大值.【答案】（1）32nna（2）22922nnnT；最大值为105.【解析】（1）设数列{}na的公比为(0)qq，若1q，有414Sa，212Sa，而4490236SS，故1q，则21242211411811119011aqSqaqaqqSqq，解