（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点29 等比数列及其前n项和必刷题（含解析）

考点29等比数列及其前n项和1．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知数列是等比数列，有下列四个命题：①数列是等比数列；②数列是等比数列；③数列是等比数列；④数列是等比数列．其中正确的命题有_____个．【答案】【解析】数列是等比数列，所以，，对于①，，所以，数列是等比数列，正确；对于②，，所以，数列是等比数列；对于③，，所以，数列是等比数列；对于④，，不是常数，所以，错误．共有3个命题正确.故答案为:3.2．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题高三数学）已知等比数列的前n项和为，若，，则＝_______．【答案】1【解析】由题意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．故答案为：1.3．（江苏省苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设是等比数列的前n项和，若，则＝____________.【答案】【解析】设是等比数列的前n项和，所以，因为，所以，整理得，即的，所以.4．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）正项等比数列中，为其前项和，已知，，则_______．【答案】【解析】由正项等比数列中，所以，又因为，所以，，所以5．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_______________.【答案】【解析】由题得所以数列的前10项和为.故答案为：6．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知等比数列的前n项和为，且，，则的值为____．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，即，得，，解得，故答案为.7．（江苏省南通市2018届高三最后一卷---备用题）已知数列的首项，且，则数列的前项的和为__________．【答案】.【解析】由，得，为等比数列，，，，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.8．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）已知数列的首项，.若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】，，数列为等比数列，公比为，首项为a，即，不等式等式恒成立可化为：，即：当n为奇数时，，，即对且恒成立.，解得：.当n为偶数时，，，即对且恒成立.，解得：.综上所述：.故答案为：.9．（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）若数列的前项和满足，则的值为__________.【答案】-81【解析】，当时，，当时，，即，是以首项为-3，公比为3的等比数列...故答案为：-81.10．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知数列na的各项均不为零．设数列na的前n项和为Sn，数列2na的前n项和为Tn，且2340nnnSST，Nn．（1）求12aa，的值；（2）证明：数列na是等比数列；（3）若1()()0nnnana对任意的Nn恒成立，求实数的所有值．【答案】（1）11a，212a；（2）数列na是以1为首项，12为公比的等比数列；（3）0【解析】（1）因为2nnn3S4ST0，*nN．令n1，得221113a4aa0，因为1a0，所以1a1．令n2，得2222231a41a1a0，即2222aa0，因为2a0，所以21a2．（2）因为2nnn3S4ST0，①所以2n1n1n13S4ST0，②②-①得，2n1nn1n1n13SSa4aa0，因为n1a0，所以n1nn13SS4a0，③所以nn1n3SS4a0n2，④当n2时，③-④得，n1nn1n3aaaa0，即n1n1aa2，因为na0，所以n1na1a2．又由（1）知，1a1，21a2，所以21a1a2，所以数列na是以1为首项，12为公比的等比数列．（3）由（2）知，n1n1a2．因为对任意的*nN，nn1λnaλna0恒成立，所以λ的值介于n11n2和n1n2之间．因为n1n11nn022对任意的*nN恒成立，所以λ0适合．若λ0，当n为奇数时，nn111nλn22恒成立，从而有n1nλ2恒成立．记2nnpnn42，因为222n1nn1n1nn2n1pn1pn0222，所以pnp41，即2nn12，所以nn12n（*），从而当2n5nλ且时，有n12nλn2，所以λ0不符．若λ0，当n为奇数时，nn111nλn22恒成立，从而有nnλ2恒成立．由（*）式知，当1n5nλ且时，有n1nλn2，所以λ0不符．综上，实数的所有值为0．11．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知数列na各项为正数，且对任意*nN，都有2111211nnnnaaaaa.（1）若1a，22a，33a成等差数列，求21aa的值；（2）①求证：数列na为等比数列；②若对任意*nN，都有1221nnaaa，求数列na的公比q的取值范围.【答案】（1）211aa或13；（2）①详见解析；②02q.【解析】（1）因为231213aaaa，所以2213aaa，因此1a，2a，3a成等比数列.设公比为t，因为1a，22a，33a成等差数列，所以21343aaa，即3211413aaaa，于是2413tt，解得1t或13，所以211aa或13.（2）①因为2111211nnnnaaaaa，所以2212112nnnnnaaaaaa，两式相除得221111nnnnnaaaa，即1112nnnnaaa，*由*，得21213nnnnaaa，****两式相除得2123112nnnnnnnnaaaa，即2211213nnnnnnaaa，所以2213nnnaaa，即212nnnaaa，2n，*nN，由（1）知2213aaa，所以212nnnaaa，*nN，因此数列na为等比数列.②当02q时，由1n时，可得101a，所以1112nnnaaq，因此112122nnaaa21n，所以02q满足条件.当2q时，由1221nnaaa，得11211nnaqq，整理得11121nnaqqaq.因为2q，101a，所以110aq，因此112nnaqq，即112nqqa，由于12q，因此121logqqna，与任意*nN恒成立相矛盾，所以2q不满足条件.综上，公比q的取值范围为02q.12．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．求：（1）集合的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数．【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）【解析】（1）集合的子集有：，，，，，，，．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，，，．所以的“和谐子集”的个数等于4．（2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数倍余2的子集．由（1）知，．集合的“和谐子集”有以下四类（考查新增元素）：第一类集合…，的“和谐子集”，共个；第二类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；同时含三个元素的“和谐子集”，共个；第三类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；第四类仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，所以集合的“和谐子集”共有个．同理得，．所以，，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．所以．同理得．又，所以．13．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知等差数列满足，前8项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足．①证明：为等比数列；②求集合．【答案】（1）（2）①见解析，②【解析】（1）设等差数列的公差为d．因为等差数列满足，前8项和，所以，解得所以数列的通项公式为．（2）①设数列前项的和为．由（1）及得由③-④得3-=-．所以，又，所以，满足上式．所以当时，由⑤-⑥得，．，所以，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以（当且仅当时等号成立）．由，得，所以．设，由，得．当时，，不合题意；当时，，此时符合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意．下面证明当时，．不妨设，，所以在上单调增函数，所以，所以当时，，不合题意．综上，所求集合．14．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题）记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若，求．【答案】（1）；（2）见解析；（3），【解析】（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴（2）若数列是等差数列，设其公差为∵根据，的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号，①若，则必有，∴，即对，，都有∴，，∴，即为等差数列；②当时，则必有，所以，即对，，都有∴，，所以，即为等差数列；③当，∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0，即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列．（3）∵，∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当时，若，则，，所以，不合题意；若，则，，则，得：，与矛盾，不合题意；∴，即；同理可证：，即，时，．①当时，，∴∴，∵∴∴②当时，，且∴，则为或．若为，则为常数，与题意不符，∴∴∴∴，∴，.15．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．（1）若，求；（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．（i）求数列{an}的通项公式；（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k＝2，t＝3．【解析】（1）因为，所以，所以.（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，得，令k＝1,，……………①k＝2，，……………②由①得，……………③②+③得，……………④①+④得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，所以2t＝(2k)2－k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－k－2＋1(*)．由于Sk－S1≠0，