（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点05 函数的单调性与最值必刷题（含解析）

考点05函数的单调性与最值1．函数在6,6的图像大致为A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，所以()fx是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．2．设fx是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】fx是R的偶函数，．，又fx在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．3．已知函数()yfx的定义域为R,)1(xf为偶函数,且对121xx,满足.若(3)1f,则不等式的解集为（）A．1,82B．)8,1(C．D．【答案】A【解析】因为对121xx,满足，所以()yfx当1x时，是单调递减函数，又因为)1(xf为偶函数，所以()yfx关于1x对称，所以函数()yfx当1x时，是增函数，又因为(3)1f，所以有1)1(f，当2log1x时，即当02x时，当2log1x时，即当2x时，，综上所述：不等式的解集为1,82，故本题选A.4．函数的单调减区间为（）A．(,1)B．3(,)2C．3(,)2D．(4,)【答案】A【解析】函数,所以或1x，所以函数fx的定义域为4x或1x，当3(,)2时，函数是单调递减，而1x，所以函数的单调减区间为,1，故本题选A。5．已知函数，则的小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为偶函数，，，当时，，函数在上递增，，即，故选：．6．记设，则（）A．存在B．存在C．存在D．存在【答案】C【解析】解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，,,函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.8．在平面直角坐标系xoy中，对于点,Aab，若函数yfx满足：，都有，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①12yx，②221yx，③sinyx，④，其中是原点O的“限定函数”的序号是______．已知点,Aab在函数2xy的图象上，若函数2xy是点A的“限定函数”，则a的取值范围是______．【答案】①③(,0]【解析】要判断是否是原点O的“限定函数”只要判断：[1,1]x，都有[1,1]y，对于①12yx，由[1,1]x可得，则①是原点O的“限定函数”；对于②221yx，由[1,1]x可得，则②不是原点O的“限定函数”对于③sinyx，由[1,1]x可得，则③是原点O的“限定函数”对于④，由[1,1]x可得[0,ln3]y[1,1]，则④不是原点O的“限定函数”点A(a,b)在函数2xy的图像上，若函数2xy是点A的“限定函数”，可得2ab，由，即，即，可得，可得1a，且0a，即0,aa的范围是(,0]，故答案为：①③；(,0].9．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____．【答案】【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在上单调递增，，两边平方解得：，故的解集为.10．函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】解：f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，则f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则msin（θ），则m，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．则t，故答案为：（，+∞）.11．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的x的取值范围是______．【答案】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数，则在在上也是增函数，故函数在R上也是增函数；又由，则，则解可得，即不等式的解集为故答案为：.12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，则，∵，∴，函数在递减，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案为：13．若实数,xy满足.则xy的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵，∴10xy＞，,当且仅当11xy时即=xy时取等号，当且仅当时取等号∴且，即，因此（当且仅当0k时取等号），从而xy的最小值为1.414．设曲线在点01,Axy处的切线为1l，在点02,Bxy处的切线为2l，若存在030,2x，使得12ll，则实数a的取值范围是______.【答案】31,2【解析】，，存在030,2x，使得，即,,，令，,，∴312y，故312a，∴答案为31,2.15．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．【答案】【解析】不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：当时，的最大值为：当时，的最大值为：最小值为：所以可化为：，解得：.故：16．己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．【答案】4－2【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故，，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以.17．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在,使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1)若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.18．已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此19．已知函数，，则最大值是______．【答案】【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(I)最大值为1.(Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.21．已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）函数的定义域是..当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.①当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为，最小值为；②当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为，最小值为；③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在上的最小值为.最大值为与中的较大者.下面比较与的大小：因为，令，得，化简得，解得.因为，且，所以.所以当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为.综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为；最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为.22．选修4-5：不等式选讲设的最小值为k.（1）求实数k的值；（2）设m，nR，，求证：.【答案】（1）2k；（2）见详解.【解析】（1）当1x时，fx取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以22111mn，当且仅当，即22m，20n时，等号成立.所以.23．已知函数fx的图像在ab，上连续不断，定义：（xab，），（xab，），其中表示函数fx在D上的最小值，表示函数fx在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得对任意的xab，成立，则称函数fx为ab，上的“k阶收缩函数”.（1）若，0x，，试写出1fx，2fx的表达式；（2）已知函数2fxx，14x，，判断fx是否为14，上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；（3）已知0b，函数，是0b，上的2阶收缩函数，求b的取值范围.数学附加题【答案】(1)，0x，，21fx，0x，.(2)163k.即存在4k，使得fx是1,4上的“4阶收缩函数”.(3)【解析】试题分析：（1）根据fx的最大值可求出1fx，2fx的解析式；（2）根据函数2fxx，14x，上的值域，先求出1fx，2fx的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数fx求导判断函数的单调性，进而写出1fx，2fx的解析式，然后再由求出k的取值范围.试题解析：（1）由题意可得：，0x，，21fx，0x，.（2），，当10x，时，，∴1kx，2k；当01x，时，11kx，∴11kx，∴1k；当14x，时，，∴21xkx，165k综上所述，16