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当前位置:首页 > 临时分类 > (江苏专用)2020高考数学二轮复习 综合仿真练(一)
综合仿真练(一)1.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PCD.证明:(1)连结OE,因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以O为AC的中点.又因为E为PC的中点,所以OE∥PA.又因为OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因为OE∥PA,PA⊥PD,所以OE⊥PD.因为OP=OC,E为PC的中点,所以OE⊥PC.又因为PD⊂平面PCD,PC⊂平面PCD,PC∩PD=P,所以OE⊥平面PCD.又因为OE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD.2.(2019·南通市一中模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0),部分自变量、函数值如下表.xπ37π12ωx+φ0π2π3π22πf(x)24求:(1)函数f(x)的单调增区间.(2)函数f(x)在(0,π]内的所有零点.解:(1)由题意得π3ω+φ=3π2,7π12ω+φ=2π,解得ω=2,φ=5π6.又Asin0+B=2,Asinπ2+B=4,解得A=2,B=2.∴f(x)=2sin2x+5π6+2由-π2+2kπ≤2x+5π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ,k∈Z,∴函数f(x)单调增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ(k∈Z).(2)∵f(x)=2sin2x+5π6+2=0,∴sin2x+5π6=-1.∵x∈(0,π],∴5π62x+5π6≤2π+5π6,∴2x+5π6=3π2,解得:x=π3.∴函数f(x)在(0,π]内的零点为π3.3.(2019·扬州四模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为14,左顶点为A,右焦点为F,且AF=5.(1)求椭圆C的方程;(2)已知圆M的圆心M-78,0,半径为r,点P为椭圆上的一点,若圆M与直线PA,PF都相切,求此时圆M的半径r.解:(1)∵椭圆离心率为14,左顶点为A,右焦点为F,且AF=5.∴ca=14,a+c=5,解得a=4,c=1.∴b2=15,∴椭圆C的方程为:x216+y215=1.(2)由题意得:A(-4,0),F(1,0),设点P的坐标为(x0,y0),则x2016+y2015=1①当x0=1时,直线PF:x=1,与圆M相切,则R=1--78=158,不妨取P1,154,直线PA:y=1541--(x+4),即3x-4y+12=0,∴点M到直线PF的距离为3×-78+1232+42=158=r∴直线PF与圆M相切∴当r=158时,圆M与直线PA,PF都相切.②当x0=-4时,点P与点A重合,不符合题意;③当x0≠1且x0≠-4时,直线PA:y=y0x0+4(x+4),PF:y=y0x0-1(x-1)化简得:PA:y0x-(x0+4)y+4y0=0,PF:y0x-(x0-1)y-y0=0∵圆M与直线PA,PF都相切∴-78y0+4y0y20+x0+2=-78y0-y0y20+x0-2=r∵y0≠0,又y20=151-x2016代入化简得:x20-122x0+121=0,解得:x0=1或x0=121∵-4x04且x0≠1∴无解.综上:r=158.4.如图,半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图,半径OA的长为10.管理部门在A,B两处各安装一个光源,其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理,地面上某点处照度y与光强度I成正比,与光源距离x的平方成反比,即y=kIx2(k为比例系数).经测量,在弧AB的中点C处的照度为130.(C处的照度为A,B两处光源的照度之和)(1)求比例系数k的值;(2)现在管理部门计划在半圆弧AB上,照度最小处增设一个光源P,试问新增光源P安装在什么位置?解:(1)因为半径OA的长为10,点C是弧AB的中点,所以OC⊥AB,AC=BC=102.所以C处的照度为y=4k22+9k22=130,解得比例系数k=2000.(2)设点P在半圆弧AB上,且P距光源A为x,则PA⊥PB,由AB=20,得PB=400-x2(0<x<20).所以点P处的照度为y=8000x2+18000400-x2(0<x<20).所以y′=-16000x3+36000x-x22=4000×9x4--x22x3-x22=20000×x2-x2+x3-x22.由y′=0,解得x=410.当0<x<410时,y′<0,y=8000x2+18000400-x2为减函数;当410<x<20时,y′>0,y=8000x2+18000400-x2为增函数.所以x=410时,y取得极小值,也是最小值.所以新增光源P安装在半圆弧AB上且距A为410(距B为415)的位置.5.已知函数f(x)=(a-3)x-a-2lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数,求实数a的最小值;(2)已知不等式f(x)+3x≥0对任意x∈(0,1]都成立,求实数a的取值范围.解:(1)法一:因为f′(x)=a-3-2x(x0),当a≤3时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>3时,由f′(x)<0,得0<x<2a-3,f(x)在0,2a-3上单调递减,由f′(x)>0,得x>2a-3,f(x)在2a-3,+∞上单调递增.因为函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数,所以a>3且2a-3≤1,所以a≥5,所以实数a的最小值为5.法二:因为函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数,所以f′(x)=a-3-2x≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≥3+2x在(1,+∞)上恒成立,又当x>1时,3+2x<5,所以a≥5,所以实数a的最小值为5.(2)令g(x)=f(x)+3x=a(x-1)-2lnx,x∈(0,1],所以g′(x)=a-2x.①当a≤2时,由于x∈(0,1],所以2x≥2,所以g′(x)≤0,g(x)在(0,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=0,所以对任意x∈(0,1],g(x)≥g(1)=0,即对任意x∈(0,1]不等式f(x)+3x≥0都成立,所以a≤2;②当a>2时,由g′(x)<0,得0<x<2a,g(x)在0,2a上单调递减;由g′(x)>0,得x>2a,g(x)在2a,1上单调递增.所以,存在2a∈(0,1),使得g2a<g(1)=0,不合题意.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记集合M={n|n(n+1)≥λan,n∈N*},若M中有3个元素,求λ的取值范围;(3)是否存在等差数列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,说明理由.解:(1)当n=1时,S1=2a1-1,得a1=1.当n≥2时,由Sn=2an-1,①得Sn-1=2an-1-1,②①-②,得an=2an-1,即anan-1=2(n≥2).因此{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)由已知可得λ≤nn+2n-1,令f(n)=nn+2n-1,则f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3,f(4)=52,f(5)=158,下面研究f(n)=nn+2n-1的单调性,因为f(n+1)-f(n)=n+n+2n-nn+2n-1=n+-n2n,所以,当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,f(n+1)<f(n),即f(n)单调递减.因为M中有3个元素,所以不等式λ≤nn+2n-1解的个数为3,所以2<λ≤52,即λ的取值范围为2,52.(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立,则当n=1时,有a1b1=22-1-2=1,所以b1=1.当n=2时,有a1b2+a2b1=23-2-2=4,所以b2=2.所以等差数列{bn}的公差d=1,所以bn=n.设S=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1,S=1·n+2(n-1)+22(n-2)+…+2n-2·2+2n-1·1,③所以2S=2·n+22(n-1)+23(n-2)+…+2n-1·2+2n·1,④④-③,得S=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+-2n1-2=2n+1-n-2,所以存在等差数列{bn},且bn=n满足题意.
本文标题:(江苏专用)2020高考数学二轮复习 综合仿真练(一)
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