（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（六） 理

综合仿真练(六)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝0110，B＝1002.(1)求AB；(2)若曲线C1：x28＋y22＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：(1)因为A＝0110，B＝1002，所以AB＝01101002＝0210.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则0210x0y0＝xy，即2y0＝x，x0＝y，所以x0＝y，y0＝x2.因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则x208＋y202＝1，从而y28＋x28＝1，即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝4.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M为曲线C1上异于极点的动点，点N在射线OM上，且|ON|·|OM|＝20，记点N的轨迹为C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C1，C2的位置关系．解：(1)曲线C1的直角坐标方程是x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2＝4y.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsinθ.故曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ.设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|ON|·|OM|＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sinθ，所以20ρ＝4sinθ，所以ρsinθ＝5.故曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝5.(2)由ρsinθ＝5，ρ＝4sinθ得sin2θ＝54，无实数解，因此曲线C1和曲线C2没有公共点，易知曲线C1是圆，曲线C2是直线，所以C1与C2相离．C．[选修4－5：不等式选讲](2019·南师附中、天一中学四月联考)已知a，b，c是正实数，且a2＋2b2＋3c2＝6，求证：a＋b＋c≤11.证明：(a2＋2b2＋3c2)1＋12＋13＝[a2＋(2b)2＋(3c)2]12＋222＋332，由柯西不等式得[a2＋(2b)2＋(3c)2]·12＋222＋332≥(a＋b＋c)2，即11≥(a＋b＋c)2，因为a，b，c是正实数，所以a＋b＋c≤11，当且仅当a1＝2b22＝3c33，即a＝2b＝3c，即a＝61111，b＝31111，c＝21111时等号成立．2.(2019·南师附中等四校联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，过点P(m,0)(m≠0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设PA―→＝λQA―→，PB―→＝μQB―→(λ，μ∈R)．(1)当Q为抛物线C的焦点时，直线l的方程为y＝13x＋1，求抛物线C的标准方程；(2)求证：λ＋μ为定值．解：(1)当Q为抛物线C的焦点时，直线l的方程为y＝13x＋1，令x＝0，得y＝1，即Q(0,1)，∴p2＝1，p＝2，∴抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由PA―→＝λQA―→，PB―→＝μQB―→(λ，μ∈R)，得x1－m＝λx1，x2－m＝μx2，∴λ＝x1－mx1，μ＝x2－mx2，∴λ＋μ＝x1－mx1＋x2－mx2＝2x1x2－mx1＋x2x1x2，易知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y＝k(x－m)，联立，得x2＝2pyp，y＝kx－m，得x2－2pkx＋2pkm＝0，Δ0，解得x＝pk±p2k2－2pkm，x1＋x2＝2pk，x1x2＝2pkm，故λ＋μ＝2x1x2－mx1＋x2x1x2＝4pkm－2pkm2pkm＝1，故λ＋μ为定值1.3．(2019·南师附中模拟)已知数列{an}满足an＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)对任意正整数n，an小数点后第一位数字是多少？请说明理由．解：(1)a1＝12，a2＝712，a3＝3760(2)a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6下证：对任意正整数n(n≥3)，均有0.6an0.7，注意到an＋1－an＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝1n＋n＋0故对任意正整数n(n≥3)，有an≥a30.6下用数学归纳法证明：对任意正整数n(n≥3)，有an≤0.7－14n①当n＝3时，有a3＝3760＝0.7－112＝0.7－14×3≤0.7－14×3，命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，命题成立，即ak≤0.7－14k则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋1k＋k＋≤0.7－14k＋1k＋k＋∵14k－1k＋k＋－1k＋＝14kk＋－14kk＋＋2k＋20∴14k－1k＋k＋1k＋∴ak＋1≤0.7－14k＋1k＋k＋≤0.7－1k＋∴n＝k＋1时，命题也成立；综合①②，任意正整数n(n≥3)，an≤0.7－14n.由此，对正整数n(n≥3)，0.6an0.7，此时an小数点后第一位数字均为6.所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，an小数点后第一位数字均为6.