（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（一）矩阵与变换 理 选修4-2

专项强化练(一)选修4－2：矩阵与变换(理独)题型一常见平面变换1．已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T对应的矩阵M.解：设M＝abcd，由题意得，abcd35－40＝2－1－12，∴3a－4b＝2，5a＝－1，3c－4d＝－1，5c＝2，解得a＝－15，b＝－1320，c＝25，d＝1120，即M＝－15－1320251120.2．(2019·高邮中学模拟)已知点A在变换T：xy→x′y′＝x＋3yy作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－4,3)，求点A的坐标．解：设A(x，y)，则A在变换T下的坐标为(x＋3y，y)，又绕原点逆时针旋转90°对应的矩阵为0－110，所以0－110x＋3yy＝－yx＋3y＝－43，得－y＝－4，x＋3y＝3，解得x＝－9，y＝4.所以点A的坐标为(－9,4).3．设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)，若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a＋b的值．解：设曲线C：x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则a00bxy＝x1y1，即ax＝x1，by＝y1.又点P1(x1，y1)在曲线C′：x24＋y2＝1上，所以x214＋y21＝1，则ax24＋(by)2＝1为曲线C的方程．又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1，因为a0，b0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.[临门一脚]1．把点A(x，y)绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是cosα－sinαsinαcosα，这个矩阵不能遗忘．2．求点被矩阵变换后的点的坐标或求曲线被矩阵变换后的曲线所用方法是求轨迹中的相关点法．3．求直线在矩阵作用下所得直线方程，可以取两个特殊点求解比较简便．题型二矩阵的复合、矩阵的乘法及逆矩阵1．已知a，b是实数，如果矩阵A＝3ab－2所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：(1)由题意，得3ab－223＝34，即6＋3a＝3，2b－6＝4.解得a＝－1，b＝5.(2)由(1)，得A＝3－15－2.由矩阵的逆矩阵公式得B＝－2－11－1－5－13－1＝2－15－3.所以B2＝2－15－32－15－3＝－11－54.2．设二阶矩阵A，B满足A－1＝1234，(BA)－1＝1001，求B－1.解：设B－1＝abcd，因为(BA)－1＝A－1B－1，所以1001＝1234abcd，即a＋2c＝1，b＋2d＝0，3a＋4c＝0，3b＋4d＝1，解得a＝－2，b＝1，c＝32，d＝－12，所以B－1＝－2132－12.[临门一脚]1．矩阵abcd的行列式abcd＝ad－bc，如果ad－bc≠0，则矩阵abcd存在逆矩阵．2．矩阵abcd的逆矩阵为dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.3．逆矩阵求解可以用定义法求解也可以用公式求解，用公式求解时要写出原始公式．4．若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1，乘法顺序不能颠倒．题型三特征值和特征向量1．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值．解：(1)设M＝abcd，由题意，M11＝a＋bc＋d＝811，M－12＝－a＋2b－c＋2d＝－24，∴a＋b＝8，c＋d＝8，－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4，解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，即M＝6244.(2)令特征多项式f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M的另一个特征值为2.2．已知矩阵A＝ab－14，A的两个特征值为λ1＝2，λ2＝3.(1)求a，b的值；(2)求属于λ2的一个特征向量α.解：(1)令f(λ)＝λ－a－b1λ－4＝(λ－a)(λ－4)＋b＝λ2－(a＋4)λ＋4a＋b＝0，于是λ1＋λ2＝a＋4，λ1·λ2＝4a＋b.解得a＝1，b＝2.(2)设α＝xy，则Aα＝12－14xy＝x＋2y－x＋4y＝3xy＝3x3y，故x＋2y＝3x，－x＋4y＝3y，解得x＝y.所以属于λ2的一个特征向量为α＝11.3．已知矩阵M＝1221，β＝17，计算M6β.解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝11，α2＝1－1.令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.所以M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×3611－3×(－1)61－1＝29132919.[临门一脚]1．A＝abcd是一个二阶矩阵，则f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．2．矩阵M＝abcd的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，属于λ的特征向量α＝xy满足Mxy＝λxy.3．特征值和特征向量，可以用定义求解也可以用公式求解．4．Mnβ的计算流程要熟悉，这也是求特征值和特征向量的应用．