（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（十二）椭圆、双曲线和抛物线

专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线A组——题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1．设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．解析：因为PF1＋PF2＝14，又PF1∶PF2＝4∶3，所以PF1＝8，PF2＝6.因为F1F2＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝12PF1·PF2＝12×8×6＝24.答案：242．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由点(2，3)在椭圆上，知4a2＋3b2＝1.①又PF1，F1F2，PF2成等差数列，则PF1＋PF2＝2F1F2，即2×2c＝2a，ca＝12，②又c2＝a2－b2，③联立①②③得a2＝8，b2＝6.故椭圆方程为x28＋y26＝1.答案：x28＋y26＝1[临门一脚]1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，则焦点在x轴上；若A＞B，则焦点在y轴上．2．椭圆的定义中一定满足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用椭圆的定义求解a，b，c有时比用方程简便．题型二椭圆的几何性质1．椭圆x29＋y24＝1的离心率是________．解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝a2－b2＝5，∴椭圆的离心率e＝ca＝53.答案：532．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：由题意可得，1m＝12，所以m＝4.答案：43．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需2c≤a，c2a2＋c2b2≤1⇒0ca≤12.答案：0，124．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63.答案：63[临门一脚]1．弄清楚a，b，c，e的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示．2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a，b.3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a，b，c的方程或不等式．题型三双曲线的定义及标准方程1．F1，F2分别是双曲线C：x29－y27＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为________．解析：由双曲线的方程可知a＝3，b＝7，所以c＝4，则|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，据此可知△PF1F2的周长为8＋2＋8＝18.答案：182．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y＝12x，则该双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线的方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，则224－12＝λ，解得λ＝1，故双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝13．(2018·柳州模拟)设双曲线x29－y26＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________．解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋2b2a＝4×3＋2×63＝16.答案：164．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是____________．解析：法一：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a＝|15－2＋－2－15－2＋＋2|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.法二：椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，①又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1，②联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.法三：设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的方程为y24－x25＝1.答案：y24－x25＝1[临门一脚]1．先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．2．双曲线的定义运用时，首先要分清楚点在双曲线的哪一支上或可能在两支上，否则会出错．题型四双曲线的几何性质1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x23－y26＝1的离心率为________．解析：由已知得，a＝3，b＝6，则c＝a2＋b2＝3，所以e＝ca＝3.答案：32．(2019·常州期末)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________．解析：由题意可得直线x＋y＋2＝0与x轴的交点(－2,0)为双曲线C的焦点，所以c＝2，又双曲线C的离心率为2，所以a＝1，b＝c2－a2＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.答案：y＝±3x3．(2018·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a得b＝2a，则该双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝5.答案：54．已知F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析：由题意得E(a,0)，不妨设A－c，b2a，B－c，－b2a，显然△ABE是等腰三角形，故当△ABE是锐角三角形时，∠AEB＜90°，从而b2a＜a＋c，化简得c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案：(1,2)[临门一脚]1．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．根据渐近线方程求离心率时要注意有两解．2．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；(2)通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；(3)利用点在曲线内部建立不等式关系；(4)利用解析式的结构特点，如a2，|a|，a等的非负性来完成范围的求解．题型五抛物线1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是________．解析：因为抛物线方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，设PA⊥l，A为垂足，所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3，所以点P的横坐标是2.答案：22．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析：由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案：x2＝12y3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝33x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,23)，所以AB＝43.故正三角形OAB的面积为12×43×6＝123.答案：1234．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为________．解析：∵抛物线方程为y2＝6x，∴焦点F32，0，准线l的方程为x＝－32.∵直线AF的斜率为－3，∴直线AF的方程为y＝－3x－32，当x＝－32时，y＝33，由此可得A点坐标为－32，33.∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P点坐标为92，33，∴PF＝PA＝92－－32＝6.答案：6[临门一脚]1．一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．2．抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．3．求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p几何意义要明确．B组——高考提速练1．(2019·扬州期末)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．解析：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±ba，又该双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即y＝12x，所以ba＝12，a＝2b，则c＝a2＋b2＝5b，则该双曲线的离心率e＝ca＝5b2b＝52.答案：522．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为________．解析：依题意得AC＝5，所以椭圆的焦距为2c＝AB＝4，长轴长2a＝AC＋BC＝8，所以短轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.答案：433．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得的弦长为2，则p＝________.解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p2，所以p22＋1＝(2)2，解得p＝2.答案：24．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若PF―→1·PF―→2＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为________．解析：因为PF―→1·PF―→2＝0，tan∠PF1F2＝12，所以PF―→1⊥PF―→2，sin∠PF1F2＝55，cos∠PF1F2＝255.所以PF1＝455c，PF2＝255c，则PF1＋PF2＝655c＝2a，所以e＝ca＝53.答案：535．(2019·海门中学模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线交于M，N两点，T是双曲线的左顶点，若△TMN为直角三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意可得△TMN为