（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（三）不等式选讲 理 选修4-5

专项强化练(三)选修4－5：不等式选讲(理独)题型一含绝对值不等式1．解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x0，解得－3＜x≤－2；当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，即x2＋x0，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2，即x2＋3x－40，解得x≥2.所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．2．解不等式：|x＋2|－|x－1|≤1.解：令f(x)＝|x＋2|－|x－1|.当x≤－2时，f(x)＝－(x＋2)－(1－x)＝－3，此时f(x)＝|x＋2|－|x－1|≤1恒成立；当－2x1时，f(x)＝(x＋2)－(1－x)＝2x＋1，令f(x)≤1，即2x＋1≤1，解得x≤0，由于－2x1，则有－2x≤0；当x≥1时，f(x)＝(x＋2)－(x－1)＝3，此时f(x)≤1不成立．综上所述，不等式|x＋2|－|x－1|≤1的解集为(－∞，0]．3．已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.[临门一脚]1．形如|x＋a|±|x－b|≥c(≤c)不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．绝对值不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求最值，一定要写出等号成立的条件．题型二基本不等式的应用1．已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋1ab≥4.证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab.所以a2＋4b2＋1ab≥4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a＝2b，且ab＝12时取等号．即a2＋4b2＋1ab≥4.2．已知a，b，c均为正数，求证：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63.证明：法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)23，1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23，又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ca.所以a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ca＋3ab＋3bc＋3ca≥63，当且仅当a＝b＝c＝43时取等号．所以原不等式成立．[临门一脚]1．基本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进行证明前一定要观察不等式两边式子结构的特征系数、方次．2．要根据条件特征选择使用三元还是两元的基本不等式，等号成立条件一定要写．3．多次使用基本不等式时要关注多个等号成立条件是否能够同时成立．题型三柯西不等式的应用1．求函数y＝3sinx＋22＋2cos2x的最大值．解：y＝3sinx＋22＋2cos2x＝3sinx＋4cos2x，由柯西不等式得y2＝(3sinx＋4cos2x)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25，当且仅当4sinx＝3|cosx|，即sinx＝35，|cosx|＝45时等号成立，所以ymax＝5.所以函数y＝3sinx＋22＋2cos2x的最大值为5.2．已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．解：由柯西不等式，得[(2a)2＋b2＋(2c)2]·12＋12＋122≥(2a＋b＋c)2.因为4a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10.所以－10≤2a＋b＋c≤10，所以2a＋b＋c的最大值为10，当且仅当a＝105，b＝2105，c＝105时等号成立．3．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：1x3y＋1y3z＋1z3x≥xy＋yz＋zx.证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz＝1，∴1x3y＋1y3z＋1z3x＝zx2＋xy2＋yz2，∴由柯西不等式可得zx2＋xy2＋yz2(xy＋yz＋zx)≥xyzx＋xyzy＋xyzz2＝xyzx＋xyzy＋xyzz2＝(xy＋yz＋zx)2.∴1x3y＋1y3z＋1z3x≥xy＋yz＋zx.4．设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝92.求证：1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1≥1.证明：法一：因为1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]≥331a1＋a2·1a2＋a3·1a3＋a1·33a1＋a2a2＋a3a3＋a1＝9，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．又a1＋a2＋a3＝92.所以1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1·2×92≥9，所以1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1≥1.法二：由柯西不等式得1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1·9＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a1)]＝1a1＋a22＋1a2＋a32＋1a3＋a12·[(a1＋a2)2＋(a2＋a3)2＋(a3＋a1)2]≥1a1＋a2·a1＋a2＋1a2＋a3·a2＋a3＋1a3＋a1·a3＋a12＝9，当且仅当(a1＋a2)2＝(a2＋a3)2＝(a3＋a1)2，即a1＝a2＝a3＝32时取等号，所以1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a1≥1.[临门一脚]1．二元柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，得α＝kβ时，等号成立．3．利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式一样也要关注式子结构特点、系数、方次、等号成立条件，如果不能够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题，也要关注式子结构特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件.