（江苏专用）2020版高考数学三轮复习 解答题分层综合练（一）中档解答题规范练（1） 文 苏教版

解答题分层综合练(一)中档解答题规范练(1)(建议用时：40分钟)1．(2019·徐州模拟)在△ABC中，已知C＝π6，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，cosB)，且m⊥n.(1)求A的值；(2)若点D在边BC上，且3BD→＝BC→，AD＝13，求△ABC的面积．2.已知四棱锥S­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1)求证：CM∥平面SAE；(2)求证：SE⊥平面SAB；(3)求三棱锥S­AED的体积．3．(2019·江阴模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB、DF于M、N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．(1)假设DN＝xm，试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；(2)问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．4．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，过D(1，0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W(Q，R，S，T为不同的四个点)．①设W(x0，y0)，证明：x202＋y201；②求四边形QRST的面积的最小值．解答题分层综合练(一)1．解：(1)由题意知m·n＝sinA＋cosB＝0，又C＝π6，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos5π6－A＝0，即sinA－32cosA＋12sinA＝0，即3sinA－π6＝0,又0A5π6，所以A－π6∈－π6，2π3，所以A－π6＝0，即A＝π6.(2)设|BD→|＝x，由3BD→＝BC→，得|BC→|＝3x，由(1)知A＝C＝π6，所以|BA→|＝3x，B＝2π3，在△ABD中，由余弦定理，得(13)2＝(3x)2＋x2－2×3x×xcos2π3，解得x＝1，所以AB＝BC＝3，所以S△ABC＝12BA·BC·sinB＝12×3×3×sin2π3＝934.2．解：(1)证明：取SA的中点N，连结MN，EN(图略)，因为M为SB的中点，N为SA的中点，所以MN∥AB，且MN＝12AB.又E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝12AB.所以MN∥CE且MN＝CE，所以四边形CENM为平行四边形，所以CM∥EN.又EN⊂平面SAE，CM⊄平面SAE，所以CM∥平面SAE.(2)证明：因为侧面SCD为直角三角形，∠CSD为直角，E为CD的中点，所以SE＝1，又SA＝AB＝2，AE＝5.所以SA2＋SE2＝AE2，则ES⊥SA.同理可证ES⊥SB.因为SA∩SB＝S，所以SE⊥平面SAB.(3)VS­AED＝12VS­ACD＝12VS­ABE＝12VE­SAB＝12×13×34×4×1＝36.3．解：(1)作GH⊥EF，垂足为H，因为DN＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x，因为NHHG＝NAAM，所以40－x10＝60－xAM，所以AM＝600－10x40－x.过M作MT∥BC交CD于T，则SMBCDN＝SMBCT＋SMTDN＝(40－AM)×60＋12(x＋60)×AM，所以y＝40－600－10x40－x×60＋12×（x＋60）（600－10x）40－x＝2400－5（60－x）240－x.由于N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，故x∈(0，30]．(2)y＝2400－5（60－x）240－x＝2400－5（40－x）＋40040－x＋40，所以当且仅当40－x＝40040－x，即x＝20∈(0，30]时，y取得最大值2000,即当DN＝20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2.4．解：(1)设动圆半径为r，则|PC|＝22－r，|PD|＝r，|PC|＋|PD|＝22|CD|＝2.由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为x22＋y2＝1.(2)①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x20＋y20＝1，又因为Q，S，R，T为不同的四个点，所以x202＋y201.②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y＝k1(x＋1)，联立y＝k1（x＋1）x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，则|QS|＝22k2＋12k2＋1，同理得|RT|＝22k2＋1k2＋2，所以S四边形QRST＝12×|QS|×|RT|＝4（k2＋1）2（2k2＋1）（k2＋2）≥4（k2＋1）294（k2＋1）2＝169.当且仅当2k2＋1＝k2＋2，即k＝±1时等号成立．综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取得最小值169.