（江苏专用）2020版高考数学三轮复习 解答题分层综合练（二）中档解答题规范练（2） 文 苏教版

解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)(建议用时：40分钟)1．(2019·连云港调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB＝ccosB＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cosA，cos2A),n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tanC的值．2.(2019·常州期末)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.3．(2019·江苏信息卷)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：m.(1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)4．(2019·江苏预测卷模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与直线y＝kx相交于A、B两点(从左至右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D.(1)若椭圆的离心率为22，点B的坐标为(2，1)，求椭圆的方程；(2)若以AD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．解答题分层综合练(二)1．解：(1)由题意，2sinAcosB＝sinCcosB＋cosCsinB，所以2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.因为0＜A＜π，所以sinA≠0.所以cosB＝22.因为0＜B＜π，所以B＝π4.(2)因为m·n＝12cosA－5cos2A，所以m·n＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－10cosA－352＋435.所以当cosA＝35时，m·n取最大值．此时sinA＝45(0＜A＜π2)，于是tanA＝43.所以tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanAtanB＝7.2．证明：(1)因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD.又因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD.又MN∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.3．解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，依题意c0＝4，4a0＋2b0＋c0＝0，9a0＋3b0＋c0＝1，解得a0＝1，b0＝－4，c0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0，3]．(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，依题意f（3）＝g（3）f′（3）＝g′（3），即9a＋3b＋c＝1，6a＋b＝2，解得b＝2－6a，c＝9a－5.所以g(x)＝ax2＋(2－6a)x＋9a－5＝ax－3a－1a2＋1－1a.令g(x)＝1，得x－3a－1a2＝1a2.因为a0，所以x＝3a－1a－1a＝3－2a.当x＝3a－1a时，g(x)有最大值，为1－1a，则运动员的飞行距离d＝3－2a－3＝－2a，飞行过程中距离平台最大高度h＝1－1a－1＝－1a，依题意，4≤－2a≤6，即2≤－1a≤3，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间．4．解：(1)由题意，ca＝22，2a2＋1b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)法一：设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)．因为A，C，D三点共线，所以AC→∥AD→，由AC→＝(2x1，y1)，AD→＝(x1＋x2，y1＋y2)，得2x1(y1＋y2)＝(x1＋x2)y1，即y1＋y2x1＋x2＝y12x1＝k2.又B，D均在椭圆上，有x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②，得（x1－x2）（x1＋x2）a2＝－（y1－y2）（y1＋y2）b2，所以直线BD的斜率k′＝y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－2k·b2a2，由于以AD为直径的圆恰好经过点B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.法二：设B(t，kt)，则A(－t，－kt)，C(t，0)，所以直线AD的方程为y＝k2(x－t)．由x2a2＋y2b2＝1，y＝k2（x－t），消去y，得b2x2＋a2k24(x－t)2＝a2b2，即(4b2＋a2k2)x2－2a2k2tx＋a2k2t2－4a2b2＝0，所以xA＋xD＝2a2k2t4b2＋a2k2，从而xD＝2a2k2t4b2＋a2k2＋t，即D3a2k2＋4b24b2＋a2k2t，a2k34b2＋a2k2t，所以直线BD的斜率k′＝a2k34b2＋a2k2t－kt3a2k2＋4b24b2＋a2k2t－t＝－2b2a2k，由于以AD为直径的圆恰好经过点B，所以AB⊥BD，即k·k′＝－1，所以a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.