（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 直线、圆与椭圆的综合运用练习 文

第3讲直线、圆与椭圆的综合运用[基础达标]1．方程x2k＋1＋y2k－5＝1表示双曲线的充要条件是k∈________．[解析]易知k＋1≠k－5．由条件得(k＋1)(k－5)0，解得－1k5．[答案](－1，5)2．(2019·江苏名校联考)若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．[解析]由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知，|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．[答案]93．(2019·江苏名校高三入学摸底)若直线l：y＝k(x－1)与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数k的值为________．[解析]将圆C的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心C(－1，2)，半径r＝2，又由题意可知|AB|＝2，所以圆心C到直线l的距离为22－12＝3，所以|－2k－2|k2＋（－1）2＝3，即k2＋8k＋1＝0，解得k＝－4－15或k＝－4＋15．[答案]－4±154．(2019·南京、盐城高三模拟)过点P(－4，0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．[解析]根据题意，由于(－4－1)25，所以点P在圆C外，过圆心C作CM⊥AB于M，连结AC．易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则|CM|＝|k＋4k|k2＋1＝|5k|k2＋1，|AM|＝5－（|5k|k2＋1）2＝5－20k2k2＋1．又点A恰好是线段PB的中点，所以|PM|＝3|AM|，在Rt△PMC中，|CM|2＋|PM|2＝|PC|2，即25k2k2＋1＋45－180k2k2＋1＝25，得180k2＝20，即k＝±13，故直线l的方程为x±3y＋4＝0．[答案]x±3y＋4＝05．(2019·河北邯郸模拟改编)椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么PF2是PF1的________倍．[解析]设线段PF2的中点为D，则OD＝12PF1，OD∥PF1，OD⊥x轴，所以PF1⊥x轴．所以PF1＝b2a＝323＝32．又因为PF1＋PF2＝43，所以PF2＝43－32＝732．所以PF2是PF1的7倍．[答案]76．(2019·广州调研改编)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则F1P→·F2A→的最大值为________．[解析]设向量F1P→，F2A→的夹角为θ．由条件知AF2为椭圆通径的一半，即AF2＝b2a＝32，则F1P→·F2A→＝32|F1P→|·cosθ，于是F1P→·F2A→要取得最大值，只需F1P→在向量F2A→上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以F1P→·F2A→＝32|F1P→|cosθ≤332．[答案]3327．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．[解析]所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝12＝22．[答案]228．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．[解析]设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝bcx交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，又O为线段F1F的中点，所以F1Q∥OM，所以F1Q⊥QF，F1Q＝2OM．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝MFOM＝bc，|OF|＝c，可解得OM＝c2a，MF＝bca，故QF＝2MF＝2bca，QF1＝2OM＝2c2a．由椭圆的定义得QF＋QF1＝2bca＋2c2a＝2a，整理得b＝c，所以a＝b2＋c2＝2c，故e＝ca＝22．[答案]229．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知斜率为22的直线l与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．[解析]由题意知，直线l过原点，且与椭圆的两个交点的横坐标分别为－c，c，所以两个交点的坐标分别为(－c，－22c)，(c，22c)，代入椭圆方程得c2a2＋c22b2＝1，整理得c2(a2＋2b2)＝2a2b2，因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，即2a4－5a2c2＋2c4＝0，即2e4－5e2＋2＝0，解得e2＝2或e2＝12，又0e1，所以e＝22．[答案]2210．若对于给定的正实数k，函数f(x)＝kx的图象上总存在点C，使得以C为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是________．[解析]设Ct，kt(t≠0)，故圆C：(x－t)2＋(y－kt)2＝1，原题等价于∃t∈R，t≠0，圆C：(x－t)2＋(y－kt)2＝1与圆x2＋y2＝4相交．又CO2＝t2＋k2t2，r1＝2，r2＝1，所以原题等价于∃t20，1t2＋k2t29，即k2t2－t4，k29t2－t4．又t2－t4∈－∞，14，9t2－t4∈－∞，814，k20，所以对于任意k，k2t2－t4都有解，所以只需k2814．又k0，所以k∈0，92．[答案]0，9211．(2018·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点3，12，焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，圆O的直径为F1F2．(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为267，求直线l的方程．[解](1)因为椭圆C的焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．又点3，12在椭圆C上，所以3a2＋14b2＝1，a2－b2＝3，解得a2＝4，b2＝1．因此，椭圆C的方程为x24＋y2＝1．因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3．(2)①设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x00，y00)，则x20＋y20＝3，所以直线l的方程为y＝－x0y0(x－x0)＋y0，即y＝－x0y0x＋3y0．由x24＋y2＝1，y＝－x0y0x＋3y0消去y，得(4x20＋y20)x2－24x0x＋36－4y20＝0．(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x0)2－4(4x20＋y20)(36－4y20)＝48y20(x20－2)＝0．因为x0，y00，所以x0＝2，y0＝1．因此，点P的坐标为(2，1)．②因为三角形OAB的面积为267，所以12AB·OP＝267，从而AB＝427．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1，2＝24x0±48y20（x20－2）2（4x20＋y20），所以AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋x20y20·48y20（x20－2）（4x20＋y20）2．因为x20＋y20＝3，所以AB2＝16（x20－2）（x20＋1）2＝3249，即2x40－45x20＋100＝0，解得x20＝52(x20＝20舍去)，则y20＝12，因此P的坐标为102，22．综上，直线l的方程为y＝－5x＋32．12．(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为255．(1)求椭圆C的标准方程；(2)将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率．[解](1)由题意知，直线的方程为y＝2(x－a)，即2x－y－2a＝0，所以右焦点F到直线的距离为|2c－2a|5＝255，所以a－c＝1，又椭圆C的右准线为x＝4，即a2c＝4，所以c＝a24，将此代入上式解得a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1．(2)法一：由(1)知B(0，3)，F(1，0)，所以直线BF的方程为y＝－3(x－1),联立方程组y＝－3（x－1），x24＋y23＝1，解得x＝85，y＝－335或x＝0，y＝3(舍去)，即P85，－335，所以直线的斜率k＝0－－3352－85＝332．法二：由(1)知B(0，3)，F(1，0)，所以直线BF的方程为y＝－3(x－1)，由题知A(2，0)，显然直线的斜率存在，设直线的方程为y＝k(x－2)，联立方程组y＝－3（x－1），y＝k（x－2），解得x＝2k＋3k＋3，y＝－3kk＋3，代入椭圆解得k＝332或k＝－32，又由题意知，y＝－3kk＋3＜0得k＞0或k＜－3，所以k＝332．13．(2019·泰州市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为22的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为22时，PQ＝23．(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．[解](1)设Px0，22x0，因为直线PQ斜率为22时，PQ＝23，所以x20＋22x02＝3，所以x20＝2，所以2a2＋1b2＝1，因为e＝ca＝a2－b2a＝22，所以a2＝4，b2＝2．所以椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1．(2)以MN为直径的圆过定点F(±2，0)．设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且x204＋y202＝1，即x20＋2y20＝4，因为A(－2，0)，所以直线PA方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，所以M0，2y0x0＋2，直线QA方程为y＝y0x0－2(x＋2)，所以N0，2y0x0－2，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋y－2y0x0＋2y－2y0x0－2＝0，即x2＋y2－4x0y0x20－4y＋4y20x20－4＝0，因为x20－4＝－2y20，所以x2＋y2＋2x0y0y－2＝0，令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±2，所以以MN为直径的圆过定点F(±2，0)．14．(2019·镇江期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．[解](1)由题意：c＝1，ca＝22，则a＝2，b＝1，c＝1，椭圆的方程为x22＋y2＝1．(2)证明：当AB，CD斜率均存在时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Mx1＋x22，kx1＋x22－1，y＝k（x－1），x2＋2y2－2＝0，得(1＋2k2)