（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题三 数列 第2讲 数列的求解与综合创新练习 文 苏教版

第2讲数列的求解与综合创新1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，则a8＝________．[解析]数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5．[答案]52．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则S3S7－S4的值为________．[解析]法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a23＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以S3S7－S4＝3a1＋3×22d7a1＋7×62d－4a1＋4×32d＝3a1＋3d3a1＋15d＝－9d3d＝－3．法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以a23＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d，所以S3S7－S4＝3a23a6＝a1＋da1＋5d＝－3dd＝－3．[答案]－33．(2019·泰州市高三模拟)设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋lnx4，记an＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．[解析]数列{an}的前8项和为a1＋a2＋…＋a8＝f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋[f(－3)＋f(3)]＋[f(－2)＋f(2)]＋[f(－1)＋f(1)]＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－(24＋ln1)＝－16．[答案]－164．(2019·日照模拟改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________．[解析]由Sn＝n2－6n可得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7．当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式，所以an＝2n－7，n∈N*．所以n≤3时，an＜0；n≥4时，an＞0，所以Tn＝6n－n2，1≤n≤3，n2－6n＋18，n≥4．[答案]6n－n2，1≤n≤3，n2－6n＋18，n≥45．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S100，S110，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．[解析]由S100，S110知a10，d0，并且a1＋a110，即a60，又a5＋a60，所以a50，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5．[答案]56．(2019·南京高三模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为________．[解析]设等比数列{an}的公比为q(q＞0且q≠1)，则由a3－a1＝2，得a1＝2q2－1．因为a3－a1＝2＞0，所以q＞1，所以a5＝a1q4＝2q4q2－1．令q2－1＝t＞0，所以a5＝2t＋1t＋2≥8，当且仅当t＝1，即q＝2时，等号成立，故a5的最小值为8．[答案]87．(2019·江苏名校高三入学摸底)定义实数a，b之间的运算⊕如下：a⊕b＝a（a≥b）b（ab），已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝2（an＋1⊕2）an(n∈N*)，若a2017＝1，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017的值为________．[解析]因为a1＝1，a2＝1，所以a3＝4，a4＝8，a5＝4，a6＝1，a7＝1，a8＝4，…即此时{an}是周期数列，且周期为5，所以a2017＝a2＝1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝18，故S2017＝403×18＋a1＋a2＝7256．[答案]72568．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．[解析]因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n．所以Sn＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2．[答案]2n＋1－29．(2019·徐州调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．[解析]设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，与a4a6＝275，联立，解得a4＝11，a6＝25或a4＝25，a6＝11，当a4＝11，a6＝25时，可得a1＝－10，d＝7，此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an0，当n≥3时，an0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当a4＝25，a6＝11时，可得a1＝46，d＝－7，此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an0，当n≥8时，an0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值．综上，anan＋1的最小值为－12．[答案]－1210．(2019·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a1a2，a3a4，a5，a6a7，a8，a9，a10……记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________．[解析]当n≥2时，因为Sn＝2bn－1，所以Sn－1＝2bn－1－1，所以bn＝2bn－2bn－1，所以bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，因为b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1．设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{cn}，则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，所以cn＝n（n－1）2＋1，由cn＝n（n－1）2＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝210＝1024．[答案]102411．(2019·江苏名校高三入学摸底)构造数组，规则如下：第一组是两个1，即(1，1)，第二组是(1，2a，1)，第三组是(1，a(1＋2a)，2a，a(2a＋1)，1)，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈0，14．设第n组中有an个数，且这an个数的和为Sn(n∈N*)．(1)求an和Sn；(2)求证：a1－1S1＋a2－1S2＋…＋an－1Sn≥n2．[解](1)由题意可得a1＝2，an＋1＝an＋(an－1)＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，又a1－1＝1，则an－1＝2n－1，所以an＝2n－1＋1．又S1＝2，且Sn＋1＝Sn＋2a(Sn－1)＝(2a＋1)Sn－2a，则Sn＋1－1＝(2a＋1)(Sn－1)，又S1－1＝1，所以Sn－1＝(2a＋1)n－1，所以Sn＝(2a＋1)n－1＋1．(2)证明：令bn＝an－1Sn，则bn＝2n－1（2a＋1）n－1＋1．下面用分析法证明数列{bn}为单调递增数列．要证bnbn＋1，即证2n－1（2a＋1）n－1＋12n（2a＋1）n＋1，又a∈0，14，故即证2(2a＋1)n－1＋2(2a＋1)n＋1，只需证2(2a＋1)n－1≥(2a＋1)n，即证2≥2a＋1，显然成立，则数列{bn}为单调递增数列．所以a1－1S1＋a2－1S2＋…＋an－1Sn≥na1－1S1＝n2．12．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝a，a2＝b，an＋1＝anan＋2＋m(n∈N*)，其中m，a，b均为实常数．(1)若m＝0，且a4，3a3，a5成等差数列．①求ba的值；②若a＝2，令bn＝an，n为奇数2log2an－1，n为偶数，求数列{bn}的前n项和Sn；(2)是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意的n∈N*都成立？若存在，求出实数λ的值(用m，a，b表示)；若不存在，请说明理由．[解](1)①因为m＝0，所以a2n＋1＝anan＋2，所以正项数列{an}是等比数列，不妨设其公比为q．又a4，3a3，a5成等差数列，所以q2＋q＝6，解得q＝2或q＝－3(舍去)，所以ba＝2．②当a＝2时，数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以bn＝2n，n为奇数，2n－1，n为偶数，即数列{bn}的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列，偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列．当n为偶数时，Sn＝2（1－4n2）1－4＋n2（3＋2n－1）2＝2n＋13＋n2＋n2－23；当n为奇数时，Sn＝2（2n＋1－1）3＋（n＋1）（n＋1＋1）2－(2n＋1)＝2n＋23＋n2－n2－23．所以Sn＝2n＋13＋n2＋n2－23，n为偶数2n＋23＋n2－n2－23，n为奇数．(2)存在常数λ＝a2＋b2－mab，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意的n∈N*都成立．证明如下：因为a2n＋1＝anan＋2＋m(n∈N*)，所以a2n＝an－1an＋1＋m，n≥2，n∈N*，所以a2n＋1－a2n＝anan＋2－an－1an＋1，即a2n＋1＋an－1an＋1＝anan＋2＋a2n．由于an0，此等式两边同时除以anan＋1，得an＋an＋2an＋1＝an－1＋an＋1an，所以an＋an＋2an＋1＝an－1＋an＋1an＝…＝a1＋a3a2，即当n≥2，n∈N*时，都有an＋an＋2＝a1＋a3a2an＋1．因为a1＝a，a2＝b，a2n＋1＝anan＋2＋m，所以a3＝b2－ma，所以a1＋a3a2＝a＋b2－mab＝a2＋b2－mab，所以当λ＝a2＋b2－mab时，对任意的n∈N*都有an＋an＋2＝λan＋1成立．13．(2019·泰州市高三模拟)已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．(1)若数列{an}是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{bn}的通项公式；(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设cn＝anbn，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．[解](1)因为an＝23－13n－1＝－2－13n，Sn＝231－－13n1－－13≥1，λ≤1．综上所述，实数λ的最大值为1．