（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 数列 1 第1讲 数列的概念与简单表示法刷好题练能

第1讲数列的概念与简单表示法1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15.答案：152．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序实数对(a，b)可以是________．解析：法一：由数列中的项可观察规律，得5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2，则a＋b＝15，a－b＝26，解得a＝412，b＝－112.法二：由数列中各项分母可观察规律为4－1，9－1，16－1，25－1，…，分子规律为4＋1，9＋1，16＋1，25＋1，…，所以a＋b＝15，a－b＝26，解得a＝412，b＝－112.答案：412，－1123．数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析：因为an＋an＋1＝12，a2＝2，所以an＝－32，n为奇数，2，n为偶数.所以S21＝11×－32＋10×2＝72.答案：724．(2019·江苏省模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n为正奇数，an＋1，n为正偶数，则其前6项之和为________．解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.答案：335．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________．解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：86．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝an－1an－2(n≥3)，则a2016＝________．解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝an－1an－2得a3＝a2a1＝2，同理可得a4＝1，a5＝12，a6＝12，a7＝1，a8＝2，故数列{an}是周期数列，周期为6，故a2016＝a336×6＝a6＝12.答案：127．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则其通项公式为________．解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.则Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，故an＝3，n＝1，2n，n≥2.答案：an＝3，n＝1，2n，n≥28．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，an＋1an，an∈N*，数列{bn}是公比为2的等比数列，bn∈N*，若a10＝b102018，则a1＋b1的值是________．解析：因为数列{bn}是公比为2的等比数列，所以bn＝b1·2n－1.因为b10＝29b12018，且b1∈N*，所以b1∈{1，2，3}．由an＋2＝an＋1＋an得a10＝a9＋a8＝2a8＋a7＝3a7＋2a6＝…＝34a2＋21a1.若b1＝1，则a10＝b10＝29＝512，从而34a2＋21a1＝512，a1＝512－34a221＝24－2a2＋8（1＋a2）21，因为an∈N*，所以1＋a2＝21k(k∈N*)，所以a1＝24－2(21k－1)＋8k＝26－34k0，不合题意，所以b1≠1；若b1＝2，则a10＝b10＝210＝1024，从而34a2＋21a1＝1024，a1＝1024－34a221＝48－2a2＋16＋8a221，分析可取a2＝19，得a1＝18，符合题意；若b1＝3，则a10＝b10＝3×29＝1536，从而34a2＋21a1＝1536，a1＝1536－34a221＝73－2a2＋3＋8a221，分析可取a2＝39，得a1＝10，符合题意．综上所述，a1＝10，b1＝3或a1＝18，b1＝2，故a1＋b1＝13或20.答案：13或209．(2019·南京四校第一学期联考)已知数列{an}满足a1＝43，an＋1－1＝an(an－1)(n∈N*)，且Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为________．解析：因为数列{an}满足a1＝43，an＋1－1＝an(an－1)(n∈N*)，所以an＋1－an＝(an－1)2＞0，an＋1＞an，因此数列{an}单调递增．由a1＝43，an＋1－1＝an(an－1)，得a2－1＝43×43－1，a2＝139，同理a3＝13381，a4＝134776561，1a3－1＝8152＞1，1a4－1＝65616916＜1，所以当n≥4时，0＜1an－1＜1.另一方面由an＋1－1＝an(an－1)，得1an＝1an－1－1an＋1－1，所以Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an＝1a1－1－1a2－1＋1a2－1－1a3－1＋…＋1an－1－1an＋1－1＝3－1an＋1－1.当n＝1时，S1＝1a1＝34，其整数部分为0；当n＝2时，S2＝34＋913＝1＋2352，其整数部分为1；当n≥3时，Sn＝3－1an＋1－1∈(2，3)，其整数部分为2.综上，Sn的整数部分的所有可能值构成的集合为{0，1，2}，其真子集的个数为23－1＝7.答案：710．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．解：因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，所以{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．因为Tn＝2－bn，所以当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，所以2bn＝bn－1.所以数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列．所以bn＝12n－1.11．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.若对于n∈N*，都有an＋1an，求实数k的取值范围．解：由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．