（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3 第3讲 平面

第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2019·无锡质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(5，－3)，则a·b的值为________．解析：因为a·b＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7.答案：72．等边三角形ABC的边长为1，BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________．解析：由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－32.答案：－323．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________．解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2－k2|b|2＝0.又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝916，即k＝±34.答案：±344．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为边BC上一点．若AB→·AD→＝5，AC→·AD→＝－23，则AB→·AC→的值为________．解析：因为D为BC边上一点，所以可设AD→＝xAB→＋yAC→，x＋y＝1，x0，y0①，则AB→·AD→＝AB→·(xAB→＋yAC→)＝9x＋yAB→·AC→＝5②，AC→·AD→＝AC→·(xAB→＋yAC→)＝xAB→·AC→＋4y＝－23③，联立①②③，可得AB→·AC→＝－3或223，当AB→·AC→＝223时不满足x，y0，舍去，故AB→·AC→＝－3.答案：－35．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.解析：由题意得：c·a|c||a|＝c·b|c||b|⇒c·a|a|＝c·b|b|⇒5m＋85＝8m＋2025⇒m＝2.答案：26．(2019·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若BC→·BA→＋2AC→·AB→＝CA→·CB→，则sinAsinC的值为________．解析：由BC→·BA→＋2AC→·AB→＝CA→·CB→，得2bc×b2＋c2－a22bc＋ac×a2＋c2－b22ac＝ab×a2＋b2－c22ab，化简可得a＝2c.由正弦定理得sinAsinC＝ac＝2.答案：27．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC→·BD→＝0，(AB→＋DC→)·(BC→＋AD→)＝5，则四边形ABCD的面积为________．解析：(AB→＋DC→)·(BC→＋AD→)＝(CB→－CA→＋DC→)·(DC→－DB→＋AD→)＝(DB→＋AC→)·(AC→－DB→)＝AC2→－DB2→＝5，即AC2－BD2＝5.因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为12AC×BD＝12×2×3＝3.答案：38．(2019·徐州月考)平面向量a，b满足|a|＝2，|a＋b|＝4，且向量a与向量a＋b的夹角为π3，则|b|为________．解析：因为向量a与向量a＋b的夹角为π3，所以cosπ3＝（a＋b）·a|a＋b|·|a|＝a2＋a·b|a＋b|·|a|＝4＋a·b4×2，解得a·b＝0，即a⊥b.所以|a|2＋|b|2＝|a＋b|2，从而解得，|b|＝23.答案：239．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO→·BC→＝________．解析：取BC边的中点D，连结AD，则AO→·BC→＝(AD→＋DO→)·BC→＝AD→·BC→＋DO→·BC→＝AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝12(62－102)＝－32.答案：－3210.(2019·南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则AB→·CD→的最大值为________．解析：以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，A32，92，当CD→在AB→方向上的投影最大时，AB→·CD→最大．C，D两点位于图中的“晶格点”处，由蜂巢结构图的对称性，取C(0，5)，当D的坐标为(－3，0)时，AB→·CD→最大，此时AB→·CD→＝－32，－92·(－3，－5)＝24.答案：2411.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→.(1)如果BP→＝2PA→，求x，y的值；(2)如果BP→＝3PA→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°时，求OP→·AB→的值．解：(1)由BP→＝2PA→，所以OP→－OB→＝2(－OP→＋OA→)，即3OP→＝2OA→＋OB→，所以x＝23，y＝13.(2)OP→＝OB→＋BP→＝OB→＋34BA→＝OB→＋34(OA→－OB→)＝34OA→＋14OB→，AB→＝OB→－OA→，所以OP→·AB→＝34OA→＋14OB→·(OB→－OA→)＝－34OA→2＋14OB→2＋12OA→·OB→＝－9.12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解：(1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.所以a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)，所以S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.1．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则3λ2＋4λ＞0，2λ－6λ2≠0，解得λ＜－43或0＜λ＜13或λ＞13，所以λ的取值范围是－∞，－43∪0，13∪13，＋∞.答案：－∞，－43∪0，13∪13，＋∞2．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则CP→·CB→＋CP→·CA→＝________.解析：建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0)，B(0，2)，P123，43，P243，23，所以CP1→＝23，43，CP2→＝43，23，CB→＝(0，2)，CA→＝(2，0)，所以CB→＋CA→＝(2，2)．故CP1→·CB→＋CP1→·CA→＝CP1→·(CB→＋CA→)＝23，43·(2，2)＝43＋83＝4，CP2→·CB→＋CP2→·CA→＝CP2→·(CB→＋CA→)＝43，23·(2，2)＝83＋43＝4.答案：43.(2019·南通市、泰州市高三第一次调研测试)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1，点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则AP→·AQ→的最小值为________．解析：法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P(2，y)，y∈[0，1]，Q(x，1)，x∈[0，2]，因为∠PAQ＝45°，所以22＝AP→·AQ→|AP→|·|AQ→|＝2x＋y4＋y2·x2＋1，化简得2x＋y＝2－xy，则y＝2－2x1＋x，x∈13，1，则AP→·AQ→＝2x＋y＝2x＋2－2x1＋x＝2(1＋x)＋41＋x－4≥22（1＋x）·41＋x－4＝42－4，当且仅当x＝2－1时取等号，因为2－1∈13，1，所以AP→·AQ→的最小值是42－4.法二：设∠BAP＝α，α∈[0，α0]，tanα0＝12，则∠DAQ＝π4－α，AP＝2cosα，AQ＝1cosπ4－α，则AP→·AQ→＝2cosα×1cosπ4－α×22＝222cosα（cosα＋sinα）＝2cos2α＋sinαcosα＝4sin2α＋cos2α＋1＝42sin2α＋π4＋1≥42＋1＝42－4，当且仅当α＝π8时取等号，故AP→·AQ→的最小值是42－4.答案：42－44．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP→＝AB→＋λAC→，且BP→·CP→＝1，则实数λ的值为________．解析：由题意可得AB→·AC→＝1×2×12＝1，AB→·AP→＝AB→2＋λAB→·AC→＝1＋λ，AP→·AC→＝1＋4λ，AP2→＝AB2→＋2λAB→·AC→＋λ2AC2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP→·CP→＝1，则(AP→－AB→)·(AP→－AC→)＝AP2→－AP→·AC→－AP→·AB→＋AB→·AC→＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.答案：－14或15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a，且|AB→|＝5|OA→|，求向量OB→；(2)若向量AC→与向量a共线，当k4，且tsinθ取最大值4时，求OA→·OC→.解：(1)由题设知AB→＝(n－8，t)，因为AB→⊥a，所以8－n＋2t＝0.又因为5|OA→|＝|AB→|，所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，所以OB→＝(24，8)，或OB→＝(－8，－8)．(2)由题设知AC→＝(ksinθ－8，t)，因为AC→与a共线，所以t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2ksinθ－4k2＋32k.因为k4，所以14k0，所以当sinθ＝4k时，tsinθ取得最大值32k.由32k＝4，得k＝8，此时θ＝π6，OC→＝(4，8)．所以OA→·OC→＝(8，0)·(4，8)＝32.6．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求c边的长．解：(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C，0＜C＜π，所以sin(A＋B)＝sinC，所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，所以sin2C＝sinC，cosC＝12，C＝π3.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.因为CA→·(AB→－AC→)＝18，所以CA→·CB→＝18，即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.