（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3 第3讲 两角和与差的正弦、

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．已知sin(π2＋α)＝12，－π2α0，则cos(α－π3)的值是________．解析：由已知得cosα＝12，sinα＝－32，所以cos(α－π3)＝12cosα＋32sinα＝－12.答案：－122．若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ＝________．解析：因为sinπ2＋θ＝cosθ＝35，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725.答案：－7253．在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝13，则A＝________．解析：tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A＝π4.答案：π44．设tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝________.解析：tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）·tanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.答案：3225．在△ABC中，若3(tanB＋tanC)＝tanBtanC－1，则sin2A＝________．解析：由3(tanB＋tanC)＝tanBtanC－1得tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－33，又因为B，C为三角形内角，所以B＋C＝150°，A＝30°，2A＝60°，所以sin2A＝32.答案：326．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))若cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2，则sin2α＝________.解析：cosπ6＋αcosπ3－α＝32cosα－12sinα·12cosα＋32sinα＝－14，则34cos2α＋14sin2α＝－14，可得3cos2α＋sin2α＝－1，cos22α＋sin22α＝1，又α∈π3，π2，解得cos2α＝－32，sin2α＝12.答案：127.3tan12°－3（4cos212°－2）sin12°＝________．解析：原式＝3sin12°cos12°－32（2cos212°－1）sin12°＝2312sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin（－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－43.答案：－438．设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sinθ＋cosθ＝________．解析：法一：由θ在第二象限，且tan(θ＋π4)＝12，因而sin(θ＋π4)＝－55，因而sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π4)＝－105.法二：如果将tan(θ＋π4)＝12利用两角和的正切公式展开，则tanθ＋11－tanθ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sinθ＝110，cosθ＝－310，从而sinθ＋cosθ＝－210＝－105.答案：－1059．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知sinα＝3sinα＋π6，则tanα＋π12＝________．解析：由sinα＝3sinα＋π6得2sinα＝33sinα＋3cosα，则(2－33)sinα＝3cosα，tanα＝sinαcosα＝32－33＝－3（2＋33）23，又tanπ12＝tanπ3－π4＝tanπ3－tanπ41＋tanπ3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，所以tanα＋π12＝tanα＋tanπ121－tanαtanπ12＝－3（2＋33）23＋2－31＋3（2＋33）（2－3）23＝23－4.答案：23－410．若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．解析：因为0απ2，－π2β0，所以π4π4＋α3π4，π4π4－β2π2，所以sin(π4＋α)＝1－19＝223，sin(π4－β2)＝1－13＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝539.答案：53911．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α∈π2，π，β∈0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝55，β∈0，π2，得sinβ＝255，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.因为α∈π2，π，β∈0，π2，所以π2α＋β3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f(π6)的值；(2)若sinα＝35，且α∈(π2，π)，求f(α2＋π24)．解：(1)f(π6)＝cos2π6＋sinπ6cosπ6＝(32)2＋12×32＝3＋34.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝1＋cos2x2＋12sin2x＝12＋12(sin2x＋cos2x)＝12＋22sin(2x＋π4)，所以f(α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sinα＋32cosα)．因为sinα＝35，且α∈(π2，π)，所以cosα＝－45，所以f(α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620.1．(2019·江苏省四校联考)已知sin2α＝13，则1tanα－1tan2α的值为________．解析：因为1tanα－1tan2α＝cosαsinα－cos2αsin2α＝sin2αcosα－cos2αsinαsinα·sin2α＝1sin2α＝3.答案：32．化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________．解析：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.答案：12cos2x3．(2019·江苏省模拟考试)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sinαsinβ，则tanα的最大值是________．解析：由cos(α＋β)＝sinαsinβ得sinα＝sinβcos(α＋β)，即sinα＝sinβcosαcosβ－sin2βsinα，所以sinα(1＋sin2β)＝sinβcosαcosβ，可以化为sinαcosα＝sinβcosβ1＋sin2β，即tanα＝sinβcosβ1＋sin2β，也可以化为tanα＝sinβcosβ2sin2β＋cos2β＝12tanβ＋1tanβ，因为β为锐角，所以tanβ0，所以tanα＝12tanβ＋1tanβ≤122tanβ·1tanβ＝24(当且仅当2tanβ＝1tanβ，即tanβ＝22时取等号)，即tanα的最大值为24.答案：244．如图所示，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知PA＝5，PB＝3，PC＝1527，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP＝90°，所以cosα＝PBPA＝35，sinα＝45，tanα＝43.因为cos∠CPB＝cos(α－β)＝PBPC＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan（α－β）1＋tanαtan（α－β）＝1.又β∈0，π2，所以β＝π4.答案：π45．已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cosβ的值．解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方，得sinα＝12.又π2＜α＜π，所以cosα＝－1－sin2α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.6．已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．解：(1)因为f(x)＝1＋cosx－3sinx＝1＋2cosx＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1，3]．(2)因为fα－π3＝13，所以1＋2cosα＝13，即cosα＝－13.又因为α为第二象限角，所以sinα＝223.因为cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα＝（cosα＋sinα）（cosα－sinα）2cosα（cosα－sinα）＝cosα＋sinα2cosα，所以原式＝cosα＋sinα2cosα＝－13＋223－23＝1－222.