（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 4 第4讲 空间几何体的结构及其表面积和

第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S全＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：由题意知，球的半径R＝a2.所以S球＝4πR2＝πa2.答案：πa24．以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为________．解析：命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案：15．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为3r.由题意可知πr×2r＝4πR2，即r＝2R.所以V圆锥V球＝13πr2×3r43πR3＝34×rR3＝34×(2)3＝62.答案：626．(2019·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥E­PAB的体积为________．解析：因为VE­PAB＝VP­ABE＝13S△ABE×PA＝13×12AB×AD×PA＝13×12×2×3×4＝4.答案：47．(2019·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥E­ADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为V2，则V1∶V2＝________．解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1∶V2＝VE­ADD1A1∶VBCC1B1­ADD1A1＝13S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A1(2h)＝1∶6.答案：1∶68．(2019·南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S­EFGH(如图2)，则正四棱锥S­EFGH的体积为________．解析：设正四棱锥S­EFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h′，则2h′＋2＝42，得h′＝322，所以h＝3222－222＝2，所以V＝13×(2)2×2＝43.答案：439．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为7，最长的侧棱长为52，则该阳马的体积的最大值为________．解析：设该阳马的底面边长分别为a，b，高为h，最长的侧棱长为l，则ab＝7，由于l2＝a2＋b2＋h2且l＝52，所以h2＝l2－(a2＋b2)≤(52)2－2ab＝50－2×7＝36(当且仅当a＝b＝7时取等号)，即有hmax＝6，所以该阳马的体积的最大值为13abhmax＝13×7×6＝14.答案：1410．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．解析：如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.答案：12011．一个正三棱台的两底面的边长分别为8cm、18cm，侧棱长是13cm，求它的全面积．解：上底面周长为c′＝3×8＝24cm，下底面周长c＝3×18＝54cm，斜高h′＝132－18－822＝12cm，所以S正棱台侧＝12(c′＋c)h′＝12×(24＋54)×12＝468cm2，S上底面＝34×82＝163cm2，S下底面＝34×182＝813cm2，所以正三棱台的全面积为S＝468＋163＋813＝(468＋973)cm2.12．如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1­B1EDF的体积．解：法一：连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．因为平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝B1O1·DD1B1D＝66a.所以VC1­B1EDF＝13S四边形B1EDF·O1H＝13·12·EF·B1D·O1H＝13·12·2a·3a·66a＝16a3.法二：连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a.由题意得，VC1­B1EDF＝VB1­C1EF＋VD­C1EF＝13S△C1EF·(h1＋h2)＝16a3.1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为________．解析：如图，在正三角形SAB中，AB＝2，SO＝3，OB＝1，O1O＝32，圆台的体积为V＝13πh(r2＋rr′＋r′2)＝13π×3214＋12×1＋1＝73π24.答案：73π242．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．解析：如图，设球的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝12R2.因为VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为13×12R2×R＝36，所以R＝6，所以球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.答案：144π3．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为________．解析：如图所示，设点D为BC的中点，则A1D⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC，因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD⊂平面A1AD，A1D⊂平面A1AD，所以BC⊥平面A1AD，因为A1A⊂平面A1AD，所以BC⊥A1A.又因为A1A∥B1B，所以BC⊥B1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DE⊥AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E，又因为AD＝22－12＝3，DE＝AD·BDAB＝32，所以AE＝AD2－DE2＝32，所以A1E＝AA21－AE2＝72，所以S四边形ABB1A1＝S四边形AA1C1C＝7，所以S三棱柱侧＝27＋4.答案：27＋44.(2019·苏州市高三调研测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)解析：由题意知，可将问题转化为求长、宽、高分别是1，2，5的长方体的外接球的表面积，易知该球的直径2R＝12＋22＋52＝30，则该球的表面积为4πR2＝30π.答案：30π5．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解：(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP，得到AD⊥平面BPC，所以VA­BCD＝VA­BPC＋VD­BPC＝13·S△BPC·AP＋13S△BPC·PD＝13·S△BPC·AD＝13·12·a·a2－x24－a24·x＝a12（3a2－x2）x2≤a12·3a22＝18a3当且仅当x＝62a时取等号.所以该四面体的体积的最大值为18a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为62a，所以S表＝2×34a2＋2×12×62a×a2－64a2＝32a2＋62a×10a4＝32a2＋15a24＝23＋154a2.6．把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：由题图可知，箱底边长为x，则箱高为h＝33×a－x2(0xa)，箱子的容积为V(x)＝12x2×sin60°×h＝18ax2－18x3(0xa)．由V′(x)＝14ax－38x2＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝23a，且当x∈0，23a时，V′(x)0；当x∈23a，a时，V′(x)0，所以函数V(x)在x＝23a处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：V23a＝18a×23a2－18×23a3＝154a3.所以当箱子底边长为23a时，箱子容积最大，最大值为154a3.