（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 10 第10讲 导数的概

第10讲导数的概念与运算1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：3(x2－a2)2．(2019·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)＝2sinx，g(x)＝acosx，x∈0，π2相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．解析：设点P的横坐标为x0，则2sinx0＝acosx0，(2cosx0)(－asinx0)＝－1，所以4sin2x0＝1.因为x0∈0，π2，所以sinx0＝12，cosx0＝32，所以a＝233.答案：2333．已知f(x)＝x(2015＋lnx)，f′(x0)＝2016，则x0＝________．解析：由题意可知f′(x)＝2015＋lnx＋x·1x＝2016＋lnx．由f′(x0)＝2016，得lnx0＝0，解得x0＝1.答案：14.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，所以f′(3)＝－13.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.答案：05．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.所以f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.答案：－46．若以曲线y＝13x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为________．解析：y′＝x2＋2bx＋4，因为y′≥0恒成立，所以Δ＝4b2－16≤0，所以－2≤b≤2.答案：[－2，2]7．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝________．解析：因为f(x)＝f′π2sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′π2cosx－sinx，所以f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2，即f′π2＝－1，所以f′(x)＝－sinx－cosx，故f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－2.答案：－28．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2，8)，则直线l的方程为________．解析：由题意知，A(2，8)在y＝xn上，所以2n＝8，所以n＝3，所以y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2，8)．所以y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0.答案：12x－y－16＝09．(2019·江苏省四星级学校联考)已知函数f(x)＝ex＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则x0＝________．解析：由题意知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)为奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，故f′(x)＝ex－e－x.因为曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，所以f′(x0)＝ex0－e－x0＝22，解得ex0＝2，所以x0＝ln2＝ln22.答案：ln2210．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝(1－x)1＋1x；(3)y＝3xex－2x＋e.解：(1)因为y＝6x3－4x2＋9x－6，所以y′＝18x2－8x＋9.(2)因为y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝x－12－x12，所以y′＝(x－12)′－(x12)′＝－12x－32－12x－12.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.11．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，所以所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为y0－（－2）x0－1＝x30－3x0＋2x0－1，又x30－3x0＋2x0－1＝3x20－3，即x30－3x0＋2＝3(x20－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－12，故所求直线的斜率为k＝3×14－1＝－94，所以y－(－2)＝－94(x－1)，即9x＋4y－1＝0.1．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．解析：f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案：－1202．已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为________．解析：因为f′(x)＝1x，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m＜0，于是解得m＝－2.答案：－23．设P是函数y＝x(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：因为y′＝12x－12(x＋1)＋x＝3x2＋12x≥234＝3，设点P(x，y)(x0)，则在点P处的切线的斜率k≥3，所以tanθ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈π3，π2.答案：π3，π24．记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．解析：f(2)＝2，f(－2)＝－2，f（2）－f（－2）2－（－2）＝1，由f′(x)＝3x2－3＝1，得x＝±233∈[－2，2]，故有2个．答案：25．(2019·徐州质检)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．因为直线m恒过定点(0，9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)，因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0，9)代入，得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，所以x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.