（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 8 第8讲 函数与方程刷

1、第8讲函数与方程1．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．解析：由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－30，f(1)＝e＋30，所以f(x)的零点个数是1.答案：12．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－30，f(2)＝e2－4＝7.39－40，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．答案：(1，2)3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精度要求至少需要计算的次数是________．解析：设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n0.001，即2n100，由26＝64，27＝128知n＝7.答案：74．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为________．解析：当x≤1时，由f(x)。

2、＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：05．函数f(x)＝2x－1（x≥0），f（x＋1）（x＜0），若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：函数f(x)＝2x－1（x≥0），f（x＋1）（x＜0）的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1.答案：(－∞，1)6．若函数f(x)＝2x－a，x≤0，lnx，x0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：当x0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为02x≤20＝1，所以0a≤1，所以实数a的取值范围是0a≤1.答案：(0，1]7．(2019·南通联考)f(x)是定义在R上的。

3、奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2016x＋log2016x，则函数f(x)的零点个数是________．解析：结合函数的图象，可知函数y＝2016x和函数y＝－log2016x的图象在第一象限有一个交点，所以函数f(x)有一个正的零点，根据奇函数图象的对称性，有一个负的零点，还有零，所以函数有三个零点．答案：38．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________.解析：作出f(x)的图象，如图，g(x)＝f(x)－a＝0，即f(x)＝a，当a＝1时，g(x)有无数个零点；当a1时，g(x)有2个零点，所以a的最小值为1.答案：19．已知f(x)＝x＋3，x≤1，－x2＋2x＋3，x＞1，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．答案：210．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数。

4、，又函数f(x)＝|lnx|（0x≤e），|－x2＋ex＋1|（ex≤4）.若f(x)＝a在[－e，4]上有6个零点，则实数a的取值范围是________．解析：由题意画出函数f(x)在[－e，4]上的图象，如图所示．又f(x)＝a在[－e，4]上有6个零点，数形结合可知，实数a的取值范围为(0，1)．答案：(0，1)11．已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈0，12，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x，因为g(0)＝14，g12＝f12－12＝－18，所以g(0)·g120.又函数g(x)在0，12上连续，所以存在x0∈0，12，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.12．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，①若f(x)＝0在区间[0，2]上有且仅有一解，因为f(0)＝10，则应有f(2)0，又因为f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，所以m－32.②若f(x。

5、)＝0在区间[0，2]上有一个或两个解，则Δ≥0，0－m－122，f（2）≥0，所以（m－1）2－4≥0，－3m1，4＋（m－1）×2＋1≥0.所以m≥3或m≤－1，－3m1，m≥－32.所以－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围为(－∞，－1]．1．已知函数f(x)＝x1－|x|(x∈(－1，1))，有下列结论：①∀x∈(－1，1)，等式f(－x)＋f(x)＝0恒成立；②∀m∈[0，＋∞)，方程|f(x)|＝m有两个不等实数根；③∀x1，x2∈(－1，1)，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④存在无数个实数k，使得函数g(x)＝f(x)－kx在(－1，1)上有三个零点，则其中正确结论的序号为________．解析：因为f(－x)＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，故①正确；当m＝0时，|f(x)|＝0只有一个解，故②错误；作出函数f(x)在(－1，1)上的图象，可知f(x)在(－1，1)上是增函数，故③正确；由图象可知y＝f(x)，y＝kx在(－1，1)上有三个不同的交点时，k有无数个取值，故④正确．答案：①③④2．已知函数f(x)＝。

6、a·2x，x≤0，log12x，x0.若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是________．解析：若a＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根，而x0时，f(x)＝1有唯一根12，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根．当a·2x＝1在(－∞，0]上有根时，可得a＝12x≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a0或0a1.答案：(－∞，0)∪(0，1)3．(2019·镇江市高三调研考试)已知函数y＝2x＋12x＋1与函数y＝x＋1x的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则i＝1k(xi＋yi)＝________．解析：函数y＝f(x)＝2x＋12x＋1满足f(x)＋f(－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，且f(x)在R上单调递增，所以f(x)∈(0，2)．又函数y＝x＋1x的图象也关于点(0，1)对称，。

7、且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则i＝12(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2.答案：24．(2019·苏州市高三调研测试)已知函数f(x)＝x2－4，x≤0，ex－5，x＞0.若关于x的方程|f(x)|－ax－5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________．解析：关于x的方程|f(x)|－ax－5＝0恰有三个不同的实数根，即函数y＝|f(x)|与y＝ax＋5的图象有三个不同的交点．作出函数图象如图所示，①若a＞0，当y＝ax＋5与y＝4－x2(x＜0)相切时，即x2＋ax＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0，a＞0，得a＝2，符合题意；当y＝ax＋5经过(－2，0)时，a＝52也符合题意．②若a＜0，当y＝ax＋5与y＝5－ex(x＞0)相切时，设切点为(x0，5－ex0)，x0＞0，则切线方程为y－(5－ex0)＝－ex0(x－x0)，代入点(0，5)得x0＝1，此时a＝－e，符合题意；当y＝a。

8、x＋5经过(ln5，0)时，a＝－5ln5也符合题意．③当a＝0时，两图象有两个交点，不合题意．综上，满足条件的所有实数a的取值集合为－e，－5ln5，2，52.答案：－e，－5ln5，2，525．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.(2)设两零点分别为x1，x2，且x1－1，x2－1，x1≠x2.则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，故只需Δ＝4m2－4（3m＋4）0，（x1＋1）＋（x2＋1）0，（x1＋1）（x2＋1）0⇔m2－3m－40，－2m＋20，3m＋4＋（－2m）＋10⇔m－1或m4，m1，m－5.故m的取值范围是{m|－5m－1}．6．设函数f(x)＝|x|x＋2－ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的零点；(2)当a0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点；(3)若函数f。

9、(x)有四个不同的零点，求a的取值范围．解：(1)当x≥0时，由f(x)＝0，得xx＋2－2x2＝0，即x(2x2＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝－2±62(舍负值)；当x0时，由f(x)＝0，得－xx＋2－2x2＝0，即x(2x2＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝－2±22.综上所述，函数f(x)的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22.(2)证明：当a0且x0时，由f(x)＝0，得xx＋2－ax2＝0，即ax2＋2ax－1＝0.记g(x)＝ax2＋2ax－1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线．又g(0)＝－10，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点，即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点．(3)易知0是函数f(x)的零点．对于x0，由(2)知，当a0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点；当a≤0时，g(x)＝ax2＋2ax－10恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点．于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．当x0时，由f(x)＝0，得－xx＋2－ax2＝0，即。

10、ax2＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①因为a＝0不符合题意，所以①式可化为x2＋2x＋1a＝0(x≠－2)，即x2＋2x＝－1a.作出函数h(x)＝x2＋2x(x0)的图象便知－1－1a0，得a1，综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．。