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1、第8讲函数与方程1.函数f(x)=ex+3x的零点个数是________.解析:由已知得f′(x)=ex+30,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=e-1-30,f(1)=e+30,所以f(x)的零点个数是1.答案:12.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为________.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345解析:据题意令f(x)=ex-x-2,由于f(1)=e1-1-2=2.72-30,f(2)=e2-4=7.39-40,故函数在区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根.答案:(1,2)3.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时,如果我们选取初始区间[1.4,1.5],则要达到精度要求至少需要计算的次数是________.解析:设至少需要计算n次,由题意知1.5-1.42n0.001,即2n100,由26=64,27=128知n=7.答案:74.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为________.解析:当x≤1时,由f(x)。
2、=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案:05.函数f(x)=2x-1(x≥0),f(x+1)(x<0),若方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为________.解析:函数f(x)=2x-1(x≥0),f(x+1)(x<0)的图象如图所示,作出直线l:y=a-x,向左平移直线l,观察可得函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的图象有两个交点,即方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,即有a<1.答案:(-∞,1)6.若函数f(x)=2x-a,x≤0,lnx,x0有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.解析:当x0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x,因为02x≤20=1,所以0a≤1,所以实数a的取值范围是0a≤1.答案:(0,1]7.(2019·南通联考)f(x)是定义在R上的。
3、奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点个数是________.解析:结合函数的图象,可知函数y=2016x和函数y=-log2016x的图象在第一象限有一个交点,所以函数f(x)有一个正的零点,根据奇函数图象的对称性,有一个负的零点,还有零,所以函数有三个零点.答案:38.已知f(x)=|x|+|x-1|,若g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.解析:作出f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即f(x)=a,当a=1时,g(x)有无数个零点;当a1时,g(x)有2个零点,所以a的最小值为1.答案:19.已知f(x)=x+3,x≤1,-x2+2x+3,x>1,则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为________.解析:函数g(x)=f(x)-ex的零点个数即为函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点,即函数g(x)=f(x)-ex有2个零点.答案:210.(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数。
4、,又函数f(x)=|lnx|(0x≤e),|-x2+ex+1|(ex≤4).若f(x)=a在[-e,4]上有6个零点,则实数a的取值范围是________.解析:由题意画出函数f(x)在[-e,4]上的图象,如图所示.又f(x)=a在[-e,4]上有6个零点,数形结合可知,实数a的取值范围为(0,1).答案:(0,1)11.已知函数f(x)=x3-x2+x2+14.证明:存在x0∈0,12,使f(x0)=x0.证明:令g(x)=f(x)-x,因为g(0)=14,g12=f12-12=-18,所以g(0)·g120.又函数g(x)在0,12上连续,所以存在x0∈0,12,使g(x0)=0,即f(x0)=x0.12.关于x的一元二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.解:设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有且仅有一解,因为f(0)=10,则应有f(2)0,又因为f(2)=22+(m-1)×2+1,所以m-32.②若f(x。
5、)=0在区间[0,2]上有一个或两个解,则Δ≥0,0-m-122,f(2)≥0,所以(m-1)2-4≥0,-3m1,4+(m-1)×2+1≥0.所以m≥3或m≤-1,-3m1,m≥-32.所以-32≤m≤-1.由①②可知m的取值范围为(-∞,-1].1.已知函数f(x)=x1-|x|(x∈(-1,1)),有下列结论:①∀x∈(-1,1),等式f(-x)+f(x)=0恒成立;②∀m∈[0,+∞),方程|f(x)|=m有两个不等实数根;③∀x1,x2∈(-1,1),若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);④存在无数个实数k,使得函数g(x)=f(x)-kx在(-1,1)上有三个零点,则其中正确结论的序号为________.解析:因为f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数,故①正确;当m=0时,|f(x)|=0只有一个解,故②错误;作出函数f(x)在(-1,1)上的图象,可知f(x)在(-1,1)上是增函数,故③正确;由图象可知y=f(x),y=kx在(-1,1)上有三个不同的交点时,k有无数个取值,故④正确.答案:①③④2.已知函数f(x)=。
6、a·2x,x≤0,log12x,x0.若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数解,则实数a的取值范围是________.解析:若a=0,当x≤0时,f(x)=0,故f(f(x))=f(0)=0有无数解,不符合题意,故a≠0.显然当x≤0时,a·2x≠0,故f(x)=0的根为1,从而f(f(x))=0有唯一根,即为f(x)=1有唯一根,而x0时,f(x)=1有唯一根12,故a·2x=1在(-∞,0]上无根.当a·2x=1在(-∞,0]上有根时,可得a=12x≥1,故由a·2x=1在(-∞,0]上无根可知a0或0a1.答案:(-∞,0)∪(0,1)3.(2019·镇江市高三调研考试)已知函数y=2x+12x+1与函数y=x+1x的图象共有k(k∈N*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则i=1k(xi+yi)=________.解析:函数y=f(x)=2x+12x+1满足f(x)+f(-x)=2,则函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,且f(x)在R上单调递增,所以f(x)∈(0,2).又函数y=x+1x的图象也关于点(0,1)对称,。
7、且在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,画出两函数的大致图象如图所示,所以两个函数的图象共有2个公共点,A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于点(0,1)对称,则i=12(xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.答案:24.(2019·苏州市高三调研测试)已知函数f(x)=x2-4,x≤0,ex-5,x>0.若关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为________.解析:关于x的方程|f(x)|-ax-5=0恰有三个不同的实数根,即函数y=|f(x)|与y=ax+5的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示,①若a>0,当y=ax+5与y=4-x2(x<0)相切时,即x2+ax+1=0,由Δ=a2-4=0,a>0,得a=2,符合题意;当y=ax+5经过(-2,0)时,a=52也符合题意.②若a<0,当y=ax+5与y=5-ex(x>0)相切时,设切点为(x0,5-ex0),x0>0,则切线方程为y-(5-ex0)=-ex0(x-x0),代入点(0,5)得x0=1,此时a=-e,符合题意;当y=a。
8、x+5经过(ln5,0)时,a=-5ln5也符合题意.③当a=0时,两图象有两个交点,不合题意.综上,满足条件的所有实数a的取值集合为-e,-5ln5,2,52.答案:-e,-5ln5,2,525.m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.(1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1大.解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.(2)设两零点分别为x1,x2,且x1-1,x2-1,x1≠x2.则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,故只需Δ=4m2-4(3m+4)0,(x1+1)+(x2+1)0,(x1+1)(x2+1)0⇔m2-3m-40,-2m+20,3m+4+(-2m)+10⇔m-1或m4,m1,m-5.故m的取值范围是{m|-5m-1}.6.设函数f(x)=|x|x+2-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)的零点;(2)当a0时,求证:函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点;(3)若函数f。
9、(x)有四个不同的零点,求a的取值范围.解:(1)当x≥0时,由f(x)=0,得xx+2-2x2=0,即x(2x2+4x-1)=0,解得x=0或x=-2±62(舍负值);当x0时,由f(x)=0,得-xx+2-2x2=0,即x(2x2+4x+1)=0(x≠-2),解得x=-2±22.综上所述,函数f(x)的零点为0,-2+62,-2+22,-2-22.(2)证明:当a0且x0时,由f(x)=0,得xx+2-ax2=0,即ax2+2ax-1=0.记g(x)=ax2+2ax-1,则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线.又g(0)=-10,所以函数g(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点,即函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点.(3)易知0是函数f(x)的零点.对于x0,由(2)知,当a0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点;当a≤0时,g(x)=ax2+2ax-10恒成立,因此函数f(x)在区间(0,+∞)内无零点.于是,要使函数f(x)有四个不同的零点,函数f(x)在区间(-∞,0)内就要有两个不同的零点.当x0时,由f(x)=0,得-xx+2-ax2=0,即。
10、ax2+2ax+1=0(x≠-2).①因为a=0不符合题意,所以①式可化为x2+2x+1a=0(x≠-2),即x2+2x=-1a.作出函数h(x)=x2+2x(x0)的图象便知-1-1a0,得a1,综上所述,a的取值范围是(1,+∞).。
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 8 第8讲 函数与方程刷
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