（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 7 第7讲 对数与对数函

第7讲对数与对数函数1．函数y＝1－lg（x＋2）的定义域为________．解析：由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg10，则x＋2≤10，x＋20，解得－2x≤8，故函数y＝1－lg（x＋2）的定义域为(－2，8]．答案：(－2，8]2．lg2＋lg5＋20＋5132×35＝________．解析：lg2＋lg5＋20＋5132×35＝lg10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1323．已知函数f(x)＝3x，x≤0，log2x，x0，那么ff18的值为________．解析：f18＝log218＝－3，ff18＝f(－3)＝3－3＝127.答案：1274．若0xy1，则下列正确的序号是________．①logx3logy3；②3y3x；③log4xlog4y；④14x14y.解析：根据函数的性质，可知logx3logy3，3y3x，log4xlog4y，14x14y，故③正确．答案：③5．对任意的非零实数a，b，若a⊗b＝b－1a，ab，a＋1b，a≥b，则lg10000⊗12－2＝________．解析：因为lg10000＝lg104＝4，12－2＝4，所以lg10000⊗12－2＝4＋14＝54.答案：546．设a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为________．解析：当a1时，a2＋12×a×1＝2a＝a＋aa－10，因此有loga(a2＋1)loga(2a)loga(a－1)，即有mpn.答案：mpn7．(2019·常州模拟)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g（1）0，a≥1，即2－a0，a≥1，解得1≤a2，即a∈[1，2)．答案：[1，2)8．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是________．解析：令2x＝t，t＞0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11≥10，所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，即所求最小值为1.答案：19．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足mn，且f(m)＝f(n)，所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝13，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么nm＝3÷13＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝19，此时－log3m2＝42，不满足题意．综上可得nm＝9.答案：910．(2019·苏北四校联考改编)函数f(x)＝log12|x－1|，则f－12，f(0)，f(3)的大小关系为________．解析：f－12＝log1232，因为－1＝log122log1232log121＝0，所以－1f－120；f(0)＝log121＝0；f(3)＝log122＝－1，所以f(3)f－12f(0)．答案：f(3)f－12f(0)11．设函数y＝f(x)且lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．解：(1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，所以lgy＝3x·(3－x)，且3x0，3－x0，⇒0x3.所以f(x)＝103x(3－x)，x∈(0，3)．(2)因为f(x)＝103x(3－x)，设u＝3x(3－x)＝－3x2＋9x＝－3x－322＋274，则f(x)＝10u，当x＝32∈(0，3)时，umax＝274，所以u∈0，274.所以f(x)∈(1，10274]．(3)当0x≤32时，u＝－3x－322＋274是增函数，而y＝10u为增函数，所以在0，32上，f(x)是增函数，在32，3上，f(x)是减函数．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12x，x＞0，0，x＝0，log12（－x），x＜0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|＜4，解得－5＜x＜5，即不等式的解集为(－5，5)．1．函数y＝log12(x2－6x＋17)的值域是________．解析：令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝log12t为减函数，所以有log12t≤log128＝－3.答案：(－∞，－3]2．(2019·无锡质检)设函数f(x)＝41－x，x≤1，1－log14x，x1，则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________．解析：原不等式等价于x≤1，41－x≤2或x1，1－log14x≤2，解得12≤x≤1或1x≤4，即实数x的取值集合为x|12≤x≤4.答案：x|12≤x≤43．设函数f(x)＝|logax|(0a1)的定义域为[m，n](mn)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为13，则实数a的值为________．解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图，令|logax|＝1.得x＝a或x＝1a，又1－a－1a－1＝1－a－1－aa＝（1－a）（a－1）a＜0，故1－a＜1a－1，所以n－m的最小值为1－a＝13，a＝23.答案：234．已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．解析：由题意，c0，x（x＋c）2≤2在x∈(0，＋∞)上恒成立，即2x2＋(4c－1)x＋2c2≥0(c0)在x∈(0，＋∞)上恒成立．若－4c－14≤0，即c≥14，则2c20，所以c≥14.若c14，则Δ＝(4c－1)2－16c2≤0⇒c≥18，所以18≤c14，综上可得c≥18.答案：c≥185．已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，其中x0，a0.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，试确定a的取值范围．解：(1)由x＋ax－20，得x2－2x＋ax0.因为x0，所以x2－2x＋a0.当a1时，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0a1时，定义域为(0，1－1－a)∪(1＋1－a，＋∞)．(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，即x＋ax－21对x∈[2，＋∞)恒成立，即a－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需ah(x)max.而h(x)＝－x2＋3x＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a2.6．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．故函数h(x)的值域为[0，2]．(2)由f(x2)·f(x)k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k（3－4t）（3－t）t恒成立，即k4t＋9t－15恒成立，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．