（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 6 第6讲 指数与指数函

第6讲指数与指数函数1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.答案：72．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系为________．解析：由0.20.6，0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc；因为a＝20.21，b＝0.40.21，所以ab.综上，abc.答案：abc3．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．解析：当a1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±3，又因为a1，所以a＝3.当0a1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0a1不成立．综上可知，a＝3.答案：34.32－13×－760＋814×42－－2323＝________．解析：原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.答案：25．已知函数f(x)＝ex－e－xex＋e－x，若f(a)＝－12，则f(－a)＝________．解析：因为f(x)＝ex－e－xex＋e－x，f(a)＝－12，所以ea－e－aea＋e－a＝－12.所以f(－a)＝e－a－eae－a＋ea＝－ea－e－aea＋e－a＝－－12＝12.答案：126．函数y＝ax－b(a0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得0a1，1－b0，解得0a1，b1，故ab∈(0，1)．答案：(0，1)7．函数y＝14x－12x＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．解析：因为x∈[－3，2]，若令t＝12x，则t∈14，8.则y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.所以所求函数值域为34，57.答案：34，578．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.答案：(－∞，1]9．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析：由于f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝ex，x≥1，e2－x，x1.当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x1时，f(x)e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.答案：e10．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0a1，显然y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．答案：(1，＋∞)11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝b·ax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以b·a＝6，①b·a3＝24，②②÷①得a2＝4，又a0且a≠1，所以a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知1ax＋1bx－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤12x＋13x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝12x＋13x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，所以m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m的取值范围是－∞，56.12．已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x），由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a＞0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y＝13g（x）的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.1．设函数f(x)＝1x，x0，ex，x≤0，若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为________．解析：当x0时，F(x)＝1x＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个不同实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0a1时，如图(1)，所以02a1，即0a12.②当a1时，如图(2)，而y＝2a1不符合要求．综上，0a12.答案：0，123．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f(x)＝ax·g(x)(a0，a≠1)；②g(x)≠0；若f（1）g（1）＋f（－1）g（－1）＝52，则a等于________．解析：由f(x)＝ax·g(x)得f（x）g（x）＝ax，所以f（1）g（1）＋f（－1）g（－1）＝52⇒a＋a－1＝52，解得a＝2或12.答案：2或124．已知函数f(x)＝|2x－1|，abc，且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a0，b0，c0；②a0，b≥0，c0；③2－a2c；④2a＋2c2.解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图)，由图象可知，a0，b的符号不确定，c0.故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1||2c－1|，即1－2a2c－1，故2a＋2c2，④成立；又2a＋2c22a＋c，所以2a＋c1，所以a＋c0，所以－ac，所以2－a2c，③不成立．答案：④5．(2019·苏锡常镇四市调研)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈18，1.故y＝2t2－t－1＝2t－142－98，t∈18，1，故值域为－98，0.(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，设2x＝m0，等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，记g(m)＝2am2－m－1，当a＝0时，解为m＝－10，不成立．当a0时，开口向下，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，不成立．当a0时，开口向上，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a0.6．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0，解得k－13.故k的取值范围为－∞，－13.