（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 4 第4讲 函数的奇偶性

第4讲函数的奇偶性与周期性1．若函数f(x)＝x（2x＋1）（x－a）为奇函数，则实数a＝________．解析：因为f(x)＝x（2x＋1）（x－a）是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以－1（－2＋1）（－1－a）＝－1（2＋1）（1－a），所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝12.经检验，符合题意，所以a＝12.答案：122．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知函数f(x)＝x(3x－a·3－x)是奇函数，则a＝________.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即－x(3－x－a·3x)＋x(3x－a·3－x)＝0，即x(3x－3－x)·(a＋1)＝0对任意x恒成立，所以a＝－1.答案：－13．(2019·江苏省南京师大附中、淮阴中学、天一中学、海门中学高三第二学期四校联考)设f(x)是定义在R上且周期为4的函数，在区间(－2，2]上，其函数解析式是f(x)＝x＋a，－2x≤0，|1－x|，0x≤2，其中a∈R.若f(－5)＝f(5)，则f(2a)的值是________．解析：因为f(x)是定义在R上且周期为4的函数，f(－5)＝f(5)，所以f(－1)＝f(1)，则－1＋a＝0，得a＝1，故f(2a)＝f(2)＝|1－2|＝1.答案：14．已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x12时，fx＋12＝fx－12，则f(6)＝________.解析：当x0时，x＋1212，所以fx＋12＋12＝fx＋12－12，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.答案：25．已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a＝________.解析：因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数f(x)关于x＝1对称，所以区间(3－2a，a＋1)关于x＝1对称，所以3－2a＋a＋12＝1，即a＝2.答案：26．设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________．解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，故a3cosa＝10，则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－97．(2019·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝log2(2－x)，则f(0)＋f(2)的值为________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝－log24＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2.答案：－28．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为________．解析：函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.则f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案：－39．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(2，0)对称，且当x∈(0，2)时，f(x)＝x3，则f(x)在区间[2018，2021]上的最大值为________．解析：因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(4－x)＝－f(x)．又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(－x)．令t＝－x，得f(4＋t)＝f(t)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)，由函数f(x)的周期为4，得f(－2)＝f(2)，所以－f(2)＝f(2)，解得f(2)＝0.所以f(－2)＝0.依此类推，可以求得f(2n)＝0(n∈Z)．作为函数f(x)的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f(x)在区间[2018，2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样．观察图象可知，函数f(x)在区间(－2，1]上单调递增，且f(1)＝13＝1，又f(－2)＝0，所以函数f(x)在区间[－2，1]上的最大值是1，故函数f(x)在区间[2018，2021]上的最大值也是1.答案：110．(2019·徐州质量检测)已知函数f(x)＝2（1－x），0≤x≤1x－1，1x≤2，如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝(x)]}，那么f2018(2)的值为________．解析：因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2018(2)＝f3×672＋2(2)＝f2(2)＝0.答案：011．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋1x.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝(x1＋x2)(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)x1＋x2－1x1x2.由于x1≥2，x2＞2，故x1－x20，x1＋x21x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．12．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解：(1)因为f(1)＝0，且f(x)在[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0，又因为f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，则f(－1)＝f(5)≠0，所以f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)．所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(10＋x)＝f(2＋8＋x)＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f(7＋13＋x)＝f(20＋x)，所以f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0，10)上有两个根，则f(x)＝0在(0，2005]上有201×2＝402个根；在[－2005，0]上有200×2＝400个根；因此f(x)＝0在闭区间[－2005，2005]上共有802个根．1．(2019·南通模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.解析：依题意，函数f(x)为奇函数且周期为2，所以f12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f12＋f(1)＋f－12＋f(0)＋f12＝f12＋f(1)－f12＋f(0)＋f12＝f12＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝2.答案：22．函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________．解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x，①用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－x.②由(①＋②)÷2得g(x)＝ex＋e－x2，所以g(0)＝e0＋e02＝1.答案：13．若f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f(x＋4)≤f(x)＋4，且f(x＋2)≥f(x)＋2，若f(3)＝4，则f(2015)的值是________．解析：由f(x＋2)≥f(x)＋2，得f(x＋4)≥f(x＋2)＋2≥f(x)＋4，又因为f(x＋4)≤f(x)＋4.所以f(x＋4)＝f(x)＋4，所以f(x＋4k)＝f(x)＋4k(k∈Z)，则f(2015)＝f(3＋4×503)＝f(3)＋4×503＝2016.答案：20164．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝4x－x2，若不等式x[f(x)－kx]≤0恒成立，则实数k的取值范围为________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝4x－x2，所以当x0时，－x0，所以f(－x)＝4×(－x)－(－x)2＝－x2－4x＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋4x.由不等式x[f(x)－kx]≤0恒成立，得当x≥0时，f(x)≤kx，即4x－x2≤kx；当x0时，f(x)≥kx，即x2＋4x≥kx.又函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝4x，作出函数f(x)的大致图象与直线y＝4x如图所示，结合图形分析可知实数k的取值范围为[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x0，则－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a－2－1，a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．6．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明如下：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．