（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 6 第6讲 双曲线刷好题练能力 文

第6讲双曲线1．双曲线x23－y22＝1的焦距为________．解析：由双曲线定义易知c2＝5.答案：252．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))已知方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．解析：因为方程x2m＋12＋y2m2＋m＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，m＋120m2＋m0，解得－1m0；当焦点在y轴上时，m＋120m2＋m0，解得m－1.所以实数m的取值范围是m－1或－1m0.答案：(－∞，－1)∪(－1，0)3．双曲线x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离为________．解析：双曲线x24－y2＝1的渐近线方程为y＝±x2，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2，0)到其渐近线距离为25＝255.答案：2554．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝53x，则双曲线的离心率为________．解析：由题意得，ba＝53，又a2＋b2＝c2，所以c2－a2a2＝259，所以c2a2＝349，所以e＝343.答案：3435．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知双曲线y25－x24＝1，M(2，t)(t10)，当双曲线上的动点N到上焦点与到点M的距离的和的最小值为25时，t＝________．解析：设双曲线的下、上焦点分别为F1，F2，显然NM＋NF2最小时，N点必在双曲线的上支上．由点M的坐标(2，t)(t10)，易知点M位于双曲线的上支的上方．由题意知，NM＋NF2＝NM＋NF1－2a，若NM＋NF2取得最小值，则NM＋NF1取得最小值，结合图形(图略)，可知当M，N，F1三点共线时，NM＋NF2取得最小值25，此时NM＋NF2＝MF1－25＝（2－0）2＋[t－（－3）]2－25＝25，解得t＝219－3.答案：219－36．已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y2n－x2m＝1的焦距等于4，则n＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为y2－3m－x2－m＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为y2n＋x2＝1，且n0且n≠1，又椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：57．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝94ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a，又PF1＋PF2＝3b，所以(PF1＋PF2)2－(PF1－PF2)2＝9b2－4a2，即4PF1·PF2＝9b2－4a2，又4PF1·PF2＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9ba2－9ba－4＝0，则3ba＋13ba－4＝0，解得ba＝43ba＝－13舍去，则双曲线的离心率e＝1＋ba2＝53.答案：538．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：设∠F1PF2＝θ，由PF1－PF2＝2a，PF1＝4PF2，得PF1＝83a，PF2＝23a，由余弦定理得cosθ＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝17a2－9c28a2＝178－98e2.因为θ∈(0，π]，所以cosθ∈[－1，1)，－1≤178－98e21，又e1，所以1e≤53.答案：539．F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，BF1－BF2＝AF2－AF1＝2a，因为△ABF2是正三角形，所以BF2＝AF2＝AB，因此AF1＝2a，AF2＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×12＝28a2，所以e＝7.答案：710．从双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT与b－a的大小关系为________．解析：设F1是双曲线的右焦点，连结PF1，由双曲线的定义知PF－PF1＝2a，①因为OM是△FF1P的中位线，所以PF1＝2OM.②又M是FP的中点，所以PF＝2MF.③②③代入①得2MF－2OM＝2a，MF－OM＝a.④因为MF＝MT＋TF，FT2＝OF2－OT2＝c2－a2，所以FT＝b.所以MF＝MT＋b.⑤把⑤代入④得MT＋b－OM＝a，所以OM－MT＝b－a.答案：OM－MT＝b－a11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)因为e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设F1(－23，0)，F2(23，0)，则MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)．所以MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以MF1→·MF2→＝0.(3)△F1MF2的底边长F1F2＝43.由(2)知m＝±3.所以△F1MF2的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝12×43×3＝6.12．(2019·南通模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为x22－y22＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足y0x0·(－3)＝－1，所以x0＝3y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y20＋y20＝c2，即y0＝12c，所以x0＝32c，所以点A的坐标为32c，12c，代入双曲线方程得34c2a2－14c2b2＝1，即34b2c2－14a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得34c4－2a2c2＋a4＝0，所以3ca4－8ca2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e＞1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为2.1．(2019·南京质检)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若F1A→＝AB→，则双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y1＝x1＋c，y1＝－bax1得x1＝－aca＋b，y1＝bca＋b，由y2＝x2＋c，y2＝bax2，得x2＝acb－a，y2＝bcb－a，由已知得－2aca＋b＝－c＋acb－a，所以b＝3a.所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.答案：3x±y＝02.如图所示，F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连结AF1，依题意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，AF1＝c，AF2＝3c，因此该双曲线的离心率e＝F1F2AF2－AF1＝2c3c－c＝3＋1.答案：3＋13．(2019·镇江模拟)已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．解析：设F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0＝±b2a，因为PQ⊥x轴，所以PQ＝2b2a.在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝3PF2，即2c＝3·b2a.又因为c2＝a2＋b2，所以b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)．因为a0，b0，所以ba＝2.故所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x4．(2019·常州调研)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P与点F1关于直线y＝－bxa对称，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意过F1(－c，0)且垂直于y＝－bxa的直线方程为y＝ab(x＋c)，它与y＝－bxa的交点坐标为－a2c，abc，所以点P的坐标为c－2a2c，2abc，因为点P在双曲线上，所以c－2a2c2a2－2abc2b2＝1，因为a2＋b2＝c2，可得c2＝5a2，所以c2a2＝5，所以e＝ca＝5.答案：55．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点(1，0)到直线l的距离d1＝b（a－1）a2＋b2.同理得到点(－1，0)到直线l的距离d2＝b（a＋1）a2＋b2.所以s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.由s≥45c，得2abc≥45c，即5ac2－a2≥2c2.于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式得54≤e2≤5.由于e＞1，故e的取值范围是52，5.6．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若BM→＝MP→，求四边形ANBM的面积．解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，且满足a2－b2a＝45，2a2＋b2＝234，解方程组得a2＝25，b2＝9.所以椭圆的方程为x225＋y29＝1，双曲线的方程为x225－y29＝1.(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，AB＝10，设M(x0，y0)，则由BM→＝MP→得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得x2025＋y209＝1，（2x0－5）225－4y209＝1，消去y0，得2x20－5x0－25＝0.解之，得x0＝－52或x0＝5(舍去)．所以y0＝332.由此可得M－52，332，所以P(－10，33)．当P为(－10，33)时，直线PA的方程是y＝33－10＋5(x＋5)，即y＝－335(x＋5)，代入x225＋y29＝1，得2x2＋15x＋25＝0.所以x＝