（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝33x的位置关系是______________________________．解析：因为圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径r＝1，所以圆心到直线y＝33x的距离为|3|3＋9＝12＜1＝r，故圆与直线相交．答案：相交2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．解析：圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距O1O2＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1O1O2r1＋r2，故两圆相交．答案：相交3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________．解析：因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.因为所求直线与圆x2＋y2＝5相切，所以|m|1＋4＝5，所以m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝04．(2019·徐州月考)若经过点P(－3，0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则圆心坐标是________；半径为________；切线在y轴上的截距是________．解析：(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以圆心坐标为(－2，1)，半径为2；经过点P的切线方程为y＝－x－3，所以在y轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2－35．(2019·连云港质检改编)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．解析：由题意知，直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒过点(1，－2)，而12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－50，所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，所以圆x2＋y2－2x＋4y＝0与2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为相交．答案：相交6．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．解析：因点Q坐标满足方程x－2y－6＝0，故可转化为圆上的点到直线的距离，因圆心C到此直线的距离为d＝|1－6|5＝5，又知半径为2，故所求最小值为5－2.答案：5－27．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是________．解析：由y＝3－4x－x2，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．所以曲线y＝3－4x－x2是半圆，如图所示．当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|2＝2.所以b＝1±22.由图可知b＝1－22.所以b的取值范围是[]1－22，3.答案：[1－22，3]8．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________．解析：直线l被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d＝|1－m|m2＋1＝（1－m）2m2＋1＝1－2mm2＋1，当d取最大值时，m＜0，此时d＝1＋2（－m）＋1－m≤2，当且仅当－m＝1，即m＝－1时取等号，即d取得最大值，弦长最短．答案：－19．(2019·南京四校第一学期联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，若直线l：3x＋4y＋m＝0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则实数m的取值范围是________．解析：圆C的圆心C(1，－2)，半径r＝2.连接PC，AC，则在Rt△PCA中，∠APC＝30°，AC＝2，所以PC＝4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离为4，也就是直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以|3×1＋4×（－2）＋m|32＋42≤4，解得－15≤m≤25，因此实数m的取值范围是[－15，25]．答案：[－15，25]10．已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________．解析：由条件得圆心C(－1，0)，它到直线l：y＝ax＋3的距离为d＝|3－a|1＋a23，解得a0或a－34.由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，于是kPC＝－1a，即2x0x0＋1＝－1a.从而由2x0x0＋10或02x0x0＋143得－1x00或0x02.答案：(－1，0)∪(0，2)11．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且MN＝23，求直线MN的方程．解：(1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0，因为MN＝23，半径r＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN的距离为22－（3）2＝1，即|－4－1＋c|5＝1，所以c＝5±5，所以直线MN的方程为2x－y＋5±5＝0.12．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，F(0，2)，点A，B是圆O上的动点，且FA·FB＝4.(1)若FB＝1，且点B在第二象限，求直线AB的方程；(2)是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)显然直线FB的斜率存在，故可设直线FB的方程为y＝kx＋2(k＞0)，联立方程得y＝kx＋2x2＋y2＝4，消去y得，(k2＋1)x2＋4kx＝0，得xB＝－4kk2＋1yB＝2－2k2k2＋1，故FB＝1＋k20－－4kk2＋1＝4|k|k2＋1＝1，得k＝1515，点B－154，74.因为FB＝1，且FA·FB＝4，所以FA＝4，又圆O的半径为2，所以A(0，－2)，故直线AB的方程为y＝－15x－2.(2)由(1)的求解方法易知，若FB＝1，且点B在第一象限，则直线AB的方程为y＝15x－2，故若存在符合题意的圆，则圆心在y轴上．设圆心坐标为(0，m)，易知当AB∥x轴时，直线AB的方程为y＝1，故|m－1|＝|m＋2|15＋1＝|m＋2|4，解得m＝25或m＝2.若直线FB，FA的斜率存在，不妨设直线FB，FA的方程分别为y＝k1x＋2，y＝k2x＋2(k1≠k2)，由(1)的求解方法易知，B－4k1k21＋1，2－2k21k21＋1，A－4k2k22＋1，2－2k22k22＋1，FB＝4|k1|k21＋1，FA＝4|k2|k22＋1.又FA·FB＝4，所以4|k1|k21＋1·4|k2|k22＋1＝4，化简得15k21k22＝k21＋k22＋1(*)．当直线AB的斜率存在且不等于0时，直线AB的方程为x－－4k1k21＋1－4k2k22＋1－－4k1k21＋1＝y－2－2k21k21＋12－2k22k22＋1－2－2k21k21＋1，化简得(k1＋k2)x＋(k1k2－1)y＋2(k1k2＋1)＝0，则点(0，2)到直线AB的距离d＝|4k1k2|（k1＋k2）2＋（k1k2－1）2＝|4k1k2|k21k22＋k21＋k22＋1，把(*)代入上式得d＝1.又|m－1|＝1＝d，故存在定圆x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．同理点0，25到直线AB的距离d＝125k1k2＋85（k1＋k2）2＋（k1k2－1）2＝125k1k2＋85|4k1k2|，显然不是定值，故不符合题意．当直线AB的斜率不存在时，易知可取A(1，3)，B(1，－3)，或A(－1，3)，B(－1，－3)，显然直线AB与圆x2＋(y－2)2＝1相切．综上所述，存在定圆：x2＋(y－2)2＝1与动直线AB恒相切．1．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．解析：依题意得知，当∠ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝02．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，那么k的取值范围是________．解析：当|OA→＋OB→|＝33|AB→|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k＞0)的距离为1，此时k＝2；当k＞2时|OA→＋OB→|＞33|AB→|，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k＜22，综上，k的取值范围为[2，22)．答案：[2，22)3．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为________．解析：连结CP.问题可以转化为关于圆心C到直线上任意一点P的距离d的函数．圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.PA＝PB＝d2－1(PC＝d≥3×1＋4×1＋85＝3)，所以四边形PACB的周长＝2d2－1＋2r＝2d2－1＋2≥29－1＋2＝42＋2.答案：42＋24．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则PM→·PN→的最大值为________．解析：法一：由图形可得PM→·PN→＝(PO→＋OM→)·(PO→＋ON→)＝|PO→|2＋PO→·(OM→＋ON→)＝4＋PO→·(OM→＋ON→)≤4＋|PO→|·|OM→＋ON→|＝4＋42，当且仅当P为直线y＝－x与圆在第二象限交点处取得等号．法二：设P(x，y)，又M(2，0)，N(0，－2)，所以PM→·PN→＝(2－x，－y)·(－x，－2－y)＝x2－2x＋y2＋2y＝4－2(x－y)，设x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以PM→·PN→＝4＋4(sinθ－cosθ)＝4＋42sinθ－π4≤4＋42.答案：4＋425．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切．(1)求圆C的方程；(2)若过点(0，－3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝3，求三角形AOB的面积．解：(1)设圆心C的坐标为(a，0)(a0)，则圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4.因为圆C与直线3x－4y＋4＝0相切，所以|3a＋4|32＋（－4）2＝2，解得a＝2或a＝－143(舍)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)依题意设直线l的方程为y＝kx－3，由y＝kx－3，（x－2）2＋y2＝4得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋9＝0，因为l与圆C相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以Δ＝[－(4＋6k)]2－4(1＋k2)×90，且x1＋x2＝4＋6k1＋k2，x1x2＝91＋k2，所以y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝9k21＋k2－12k＋18k21＋k2＋9，又因为x1x2＋y1y2＝3，所以91＋k2＋9k21＋k2－12k＋1