（江苏专用）2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（二十九）正态分布 苏教版选修2-3

课时跟踪检测（二十九）正态分布[课下梯度提能]一、基本能力达标1.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X2)等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4解析：选A因为P(X2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X－2)＝1，P(X2)＝P(X－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X2)＝12[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内解析：选C5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．3.一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂解析：选C∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．4．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是()A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2解析：选C正态密度函数为φμ，σ(x)＝12πσe－x－u22σ2，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝12πσ，所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()A．4.56%B．13.55%C．27.1%D．31.7%解析：选BP(－3ξ3)＝68.3%，P(－6ξ6)＝95.4%，则P(3ξ6)＝12×(95.4%－68.3%)＝13.55%.6．设随机变量X～N(1,4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，∴a＋b＋a－b2＝1.∴a＝1.答案：17．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.1587，则P(2X4)＝________.解析：因为随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.1587，所以P(X≤2)＝0.1587，所以P(2X4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.6826.答案：0.68268．某中学有1000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100,102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．解析：用X表示此中学数学高考成绩，则X～N(100,102)，∴P(X120)＝1－P(X≤120)＝1－φ120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1000×0.023＝23.答案：239．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？解：(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.12π·σ＝182π，所以σ＝8.故概率密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－x－802128.(2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.3%.10．若随机变量X～N(0,1)，查表求：(1)P(0X≤2.31)；(2)P(1.38≤x0)；(3)P(|X|0.5)．解：(1)P(0X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0)＝0.9896－0.5＝0.4896.(2)P(－1.38≤X0)＝P(0X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.9162－0.5＝0.4162.(3)P(|X|0.5)＝P(－0.5X0.5)＝P(－0.5X≤0)＋P(0X0.5)＝2P(0X0.5)＝2[P(X0.5)－P(X≤0)]＝2(0.6915－0.5)＝2×0.1915＝0.3830.二、综合能力提升1．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有多少人？解：设该工厂工人的月收入为X，则X～N(2500,202)，所以μ＝2500，σ＝20，所以月收入在区间(2500－3×20,2500＋3×20)内取值的概率是0.9973，该区间即(2440,2560)．因此月收入在2440元以下和2560元以上的工人大约有1200×(1－0.9973)＝1200×0.0027≈3(人)．2．在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：161≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σzμ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σzμ＋2σ)＝0.9545)(3)已知样本中成绩在区间[90,100]内的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．解：(1)样本平均数x和样本方差s2分别为x＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161.(2)由(1)知，z～N(70,161)，从而P(z82.7)＝1－0.68272＝0.15865，所以能进入复试的人数为2000×0.15865≈317.(3)显然X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝C14×C22C36＝15，P(X＝2)＝C24×C12C36＝35，P(X＝3)＝C34×C02C36＝15，故X的分布列为X123P153515所以E(X)＝15×1＋35×2＋15×3＝105＝2.