您好,欢迎访问三七文档
课时跟踪检测(八)最大值与最小值[课下梯度提能]一、基本能力达标1.设函数f(x)=2x+1x-1(x0),则f(x)()A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数解析:选Af′(x)=2-1x2=2x2-1x2,令f′(x)=0,得x=-22.当x-22时,f′(x)0,当-22x0时,f′(x)0,∴x=-22是函数f(x)的极大值点,也是最大值点.2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16解析:选A∵y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).当x=-2时,y=1;x=-1时,y=12;x=1时,y=-8.∴ymax=12,ymin=-8.故选A.3.函数y=x·e-x,x∈[0,4]的最小值为()A.0B.1eC.4e4D.2e2解析:选A由题意得,y′=(1-x)e-x,当x∈(1,4]时,y′<0,当x∈[0,1)时,y′>0,所以x=1是函数y=x·e-x(x∈[0,4])的极大值点,且当x=1时,y=1e,当x=0时,y=0,当x=4时,y=4e4,因为0<4e4<1e,所以ymin=0.故选A.4.函数f(x)=x3-3x在(a,2)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-1,1)C.[-2,1)D.[-1,1)解析:选C由函数f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在区间(-1,1)上单调递减.又由f(1)=-2,令f(x)=-2,即x3-3x=-2,解得x=-2或x=1.要使得函数f(x)=x3-3x在(a,2)上有最小值,结合函数f(x)的图象可得实数a的取值范围是[-2,1),故选C.5.函数y=x+2cosx在0,π2上取最大值时,x的值为()A.0B.π6C.π3D.π2解析:选By′=1-2sinx,令y′=0,得sinx=12,∵x∈0,π2,∴x=π6.由y′0得sinx12,∴0≤xπ6;由y′0得sinx12,∴π6x≤π2,∴原函数在0,π6上单调递增,在π6,π2上单调递减.当x=0时,y=2,当x=π2时,y=π2,当x=π6时,y=π6+3,∵π6+32π2,∴当x=π6时取最大值,故选B.6.函数f(x)=exsinx在区间0,π2上的值域为_______.解析:f′(x)=ex(sinx+cosx).因为x∈0,π2,所以f′(x)>0.所以f(x)在0,π2上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=fπ2=eπ2.答案:0,eπ27.直线y=a分别与曲线y=2(x+1),y=x+lnx交于A,B两点,则AB的最小值为______.解析:设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+lnx2,∴x1=12(x2+lnx2)-1,∴AB=x2-x1=12(x2-lnx2)+1,令y=12(x-lnx)+1,则y′=121-1x,∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,函数取得最小值32,即ABmin=32.答案:328.若关于x的不等式x2+1x≥m对任意x∈-∞,-12恒成立,则m的取值范围是________.解析:设y=x2+1x,则y′=2x-1x2=2x3-1x2,当x≤-12时,y′<0,y=x2+1x是减函数,∴当x=-12时,y取得最小值为-74.∵x2+1x≥m恒成立,∴m≤-74.答案:-∞,-749.已知k为实数,f(x)=(x2-4)(x+k).(1)求导函数f′(x);(2)若x=-1是函数f(x)的极值点,求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.解:(1)∵f(x)=x3+kx2-4x-4k,∴f′(x)=3x2+2kx-4.(2)由f′(-1)=0,得k=-12.∴f(x)=x3-12x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4.由f′(x)=0,得x=-1或x=43.又f(-2)=0,f(-1)=92,f43=-5027,f(2)=0,∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值为92,最小值为-5027.10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.解:(1)依题意可知点P(1,f(1))为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f(1)=3×1+1=4,∴f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2,又由f(x)=x3+ax2+bx+5得,又f′(x)=3x2+2ax+b,而由切线y=3x+1的斜率可知f′(1)=3,∴3+2a+b=3,即2a+b=0,由a+b=-2,2a+b=0.解得a=2,b=-4,∴a=2,b=-4.(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=23或x=-2.当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2-2,232323,11f′(x)+0-0+f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f23=9527,又f(-3)=8,f(1)=4,∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.二、综合能力提升1.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0解析:选A根据题意可得|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|≤t,因为f′(x)=3x2-3,x∈[-3,2],所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]和[-3,-1]上单调递增.f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以|f(x)max-f(x)min|=20,所以t≥20,故选A.2.已知当x∈0,π2时,函数f(x)=tx-sinx(t∈R)的值恒小于零,则t的取值范围是()A.-∞,2πB.-∞,π2C.2π,+∞D.π2,+∞解析:选Af(x)=tx-sinx0在x∈0,π2内恒成立,即tsinxx在0,π2内恒成立,令g(x)=sinxx,则g′(x)=xcosx-sinxx2.令φ(x)=xcosx-sinx,则φ′(x)=-xsinx,当x∈0,π2时,φ′(x)0,∴φ(x)在0,π2上单调递减,∴φ(x)φ(0)=0,∴sinxxcosx,∴g′(x)0,∴g(x)在0,π2内单调递减,∴t≤sinπ2π2=2π.3.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f′(x)0,则-3(x+1)(x-3)0,解得x-1或x3.∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)结合(1),令f′(x)=0,得x=-1或x=3.又∵x∈[-2,2],∴x=-1.当-2x-1时,f′(x)0;当-1x2时,f′(x)0.∴x=-1是函数f(x)的极小值点,该极小值也就是函数f(x)在[-2,2]上的最小值,即f(x)min=f(-1)=a-5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)=-8+12+18+a=a+22,f(-2)=8+12-18+a=a+2.∵a+22a+2,∴f(x)max=a+22=20,∴a=-2.此时f(x)min=a-5=-2-5=-7.4.已知f(x)=ax-lnx,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)当a=1时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-1x=x-1x,∴所求切线的斜率为f′(2)=12,切点为(2,2-ln2),∴所求切线的方程为y-(2-ln2)=12(x-2),即x-2y+2-2ln2=0.(2)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e]有最小值3,f′(x)=a-1x=ax-1x.①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去),所以此时不存在符合题意的实数a;②当0<1a<e时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,e上单调递增,故f(x)min=f1a=1+lna=3,解得a=e2,满足条件;③当1a≥e时,f(x)在(0,e]上单调递减,故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去),所以此时不存在符合题意的实数a.综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,f(x)有最小值3.
本文标题:(江苏专用)2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测(八)最大值与最小值 苏教版选修2-2
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8068158 .html