（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十四）两条直线的位置关系 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十四）两条直线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·苏州调研)已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5，1)，则直线l的方程为________．解析：∵已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，故直线l为线段AB的中垂线．求得AB的中点为(－2,2)，AB的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l的斜率为－3，故直线l的方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.答案：3x＋y＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是________．解析：因为直线x－2y－2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k＝－2.所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.答案：2x＋y－2＝03．直线y＝3x＋3关于直线l：x－y－2＝0对称的直线方程为________．解析：取直线y＝3x＋3上一点A(0,3)，设A关于直线l：x－y－2＝0对称的点为A′(a，b)，则有b－3a－0·1＝－1，a＋02－b＋32－2＝0，解得a＝5，b＝－2.∴A′(5，－2)．联立y＝3x＋3，x－y－2＝0，解得x＝－52，y＝－92.令M－52，－92，∵直线y＝3x＋3关于直线l对称的直线过A′，M两点，∴所求直线方程为y－－92－2－－92＝x－－525－－52，即x－3y－11＝0.答案：x－3y－11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为________．解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率为2.又直线l2过点(－1,1)，所以直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.令x＝0，得y＝3，所以点P的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．解析：解方程组2x－y＝－10，y＝x＋1，可得x＝－9，y＝－8，所以直线2x－y＝－10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，所以a＝23.答案：236．(2019·苏州检测)已知直线l1：mx＋2y＋4＝0与直线l2：x＋(m＋1)y－2＝0平行，则l1与l2间的距离为________．解析：∵直线l1：mx＋2y＋4＝0与直线l2：x＋(m＋1)y－2＝0平行，当m＝－1时，显然不合题意；当m≠－1时，有m1＝2m＋1≠4－2，解得m＝1，∴l1与l2间的距离d＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l1：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋2＝0，若直线l1∥l2，则m＝________.解析：由题意知，当m＝2时，l1：3x＋2y＋2＝0，l2：x＋1＝0，不合题意；当m≠2时，若直线l1∥l2，则m＋12＝2m－2≠2m－22，解得m＝－2或m＝3(舍去)．答案：－22．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为________．解析：因为l1∥l2，所以1a－2＝a3≠62a，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以l1与l2的距离d＝6－232＝823.答案：8233．(2019·张家港模拟)过点P(1,2)作一直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为________________．解析：易知直线l的斜率存在，∵直线l过点P(1,2)，∴设l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.又直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)的距离相等，∴|2k－3－k＋2|k2＋1＝|4k＋5－k＋2|k2＋1，解得k＝－4或k＝－32，∴l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.答案：4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝04．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点________．解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．解析：设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0.①又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－12，直线PQ的斜率kPQ＝y0＋1x0，所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，得y0＋1x0·－12＝－1.②由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·苏州一模)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为3，则△AOB的面积S的最小值为________．解析：由坐标原点O到直线l的距离为3，可得|－1|m2＋n2＝3，化简得m2＋n2＝13.对直线l：mx＋ny－1＝0，令x＝0，可得y＝1n；令y＝0，可得x＝1m，故△AOB的面积S＝12·1m·1n＝12|mn|≥1m2＋n2＝3，当且仅当|m|＝|n|＝66时，取等号．故△AOB的面积S的最小值为3.答案：37．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝10，所以PA·PB≤PA2＋PB22＝5(当且仅当PA＝PB＝5时，等号成立)，当P与A或B重合时，PA·PB＝0，故PA·PB的最大值是5.答案：58．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合．若此时点C(7,3)与点D(m，n)也重合，则m＋n的值是________．解析：由题意知，折痕既是A，B的对称轴，也是C，D的对称轴．因为AB的斜率kAB＝0－24－0＝－12，AB的中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，所以kCD＝n－3m－7＝－12，①因为CD的中点为m＋72，n＋32，所以n＋32－1＝2m＋72－2.②由①②解得m＝35，n＝315，所以m＋n＝345.答案：3459．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值．解：(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1∥l2可得－a2＝11－a，－3≠－a＋，解得a＝－1.综上可知，a＝－1.法二：由l1∥l2知A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即aa－－1×2＝0，aa2－－1×6≠0⇒a2－a－2＝0，aa2－⇒a＝－1.(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1⊥l2，得－a2·11－a＝－1⇒a＝23.法二：因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝23.10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，联立2x＋y－11＝0，2x－y－5＝0，得C(4,3)．设B(x0，y0)，则AB的中点Mx0＋52，y0＋12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，联立2x0－y0－1＝0，x0－2y0－5＝0，得B(－1，－3)，所以kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S，如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S＝________.解析：由已知可得直线l的斜率一定存在且不为零，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则直线l与坐标轴的交点为(0,1－2k)，2－1k，0，则S＝12|1－2k|·2－1k＝2－12k－2k.如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则关于k的方程2－12k－2k＝S只有三个解，即4k2＋2(S－2)k＋1＝0与4k2－2(S＋2)k＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是________．解析：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得bsinB·sinAa＝1.又xsinA＋ay＋c＝0的斜率k1＝－sinAa，bx－ysinB＋sinC＝0的斜率k2＝bsinB，因此k1·k2＝bsinB·－sinAa＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值，并求此时l的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，因为点A(5,0)到l的距离为3，所以|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12，所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)如图，由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2,1)，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝PA＝－2＋－2＝10.因为kPA＝－13，l⊥PA，所以kl＝3，所以直线l的方程为y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.